§13. Кривизна и кручение кривой

М

Пусть  – гладкая кривая,  – единичный вектор касательной к кривой в точке , а – в точке , – приращение вектора на дуге , длина которой , а угол между векторами и равен . Его называют углом смежности (см. рис.).

Определение 1. Кривизной кривой в точке называют предел отношения угла смежности к длине дуги , то есть

(1)

Обратную величину называют радиусом кривизны кривой в точке .

Из рисунка видно, что

при (2)

Тогда из (1) с учётом (2) получим

( )

Лемма. Производная единичного вектора перпендикулярна к самому вектору.

Доказательство. Пусть – единичный вектор. Тогда . Дифференцируя это тождество, найдём . Что и требовалось доказать.

Продифференцируем (см. (15) §12) ещё раз

(3)

Здесь – кривизна кривой, а – единичный вектор. Согласно лемме он перпендикулярен единичному вектору касательной . Его называют главной нормалью кривой в точке . Единичный вектор называют бинормалью, а правую ортонормированную тройку векторов и репером Френе.

Если – скорость точки, то – её ускорение. По правилу дифференцирования сложной функции найдём

. (4)

. (5)

Получили разложение ускорения на касательное и нормальное .

Предполагая существование нужных производных, выразим кривизну кривой через производные векторной функции . Поскольку векторы и коллинеарные, то угол смежности между векторами и будет равен углу между векторами и .

. (6)

Поскольку и при

(см. ( ) §12), то из (1) получим

Итак, (7)

Плоскость, проходящую через точку на кривой , нормалью которой служит бинормаль , называют соприкасающейся плоскостью.

Так как , а (см. (5)), то векторы перпендикулярны бинормали   , следовательно, лежат в соприкасающейся плоскости.

Пусть  – произвольная точка соприкасающейся плоскости. Тогда векторы и  – компланарные и их смешанное произведение равно нулю.

(8)

Уравнение (8) – уравнение соприкасающейся плоскости.

Пусть – угол между двумя соприкасающимися плоскостями, проходящими через точки и на кривой , а – длина дуги .

Определение 2. Предел отношения угла к длине дуги называют абсолютным кручением кривой в точке

(9)

Угол между соприкасающимися плоскостями в точках и равен углу между нормалями и в этих точках. Сравнивая определения кривизны и абсолютного кручения, видим, что они ничем не отличаются, углы только берутся не между касательными, а между бинормалями. Поэтому аналогично получим формулу

( )

(см. вывод формулы ( )).

Согласно лемме и  – ортогональны. Поэтому можно записать

(10)

где и – неизвестные коэффициенты разложения.

Дифференцируя тождество , получим

Учитывая это, перепишем (10) в виде

( )

Продифференцируем другое тождество . Получим

. (11)

Из (11) получим

(12)

Сравнивая (12) с ( ), найдём . Назовём кручением кривой в точке (в отличие от абсолютного кручения может быть и отрицательным). Перепишем формулу ( ) и (11)

( )

( )

Дифференцируя (3), получим

(13)

Выпишем полученные формулы.

(см. (15) §12),

(3),

(13).

Найдём векторное произведение

(14)

Найдём смешанное произведение

.

. (15)

Зная векторное представление кривой , по формуле (15) можно вычислить кривизну .

Замечание. Формула (15) верна и в том случае, если производные берутся не по длине кривой , и по параметру . То есть формулу (15) можно записать

. ( )

Пример. Найти кривизну и кручение винтовой линии , .

Решение. Найдём производную радиус-вектора

.

, , .

.

.

Согласно ( ),

.

Согласно (7),

Как видно, винтовая линия имеет постоянное кручение и кривизну.