- •§10. План исследования функции и построение графика
- •§ 11. Вектор-функция скалярного аргумента. Основные понятия
- •§ 12. Понятие кривой, касательная к кривой, длина кривой
- •§13. Кривизна и кручение кривой
- •Глава 7. Неопределённый интеграл
- •§ 1. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица интегралов
- •§ 2. Основные методы интегрирования
§ 12. Понятие кривой, касательная к кривой, длина кривой
Рассмотрим однозначное и непрерывное отображение отрезка в пространство , . Образ называют непрерывной кривой Жордана в пространстве . Заметим, что кривая не является графиком функции .
Хотя пространство (n 2) не является упорядоченным, множество точек кривой можно упорядочить следующим образом. Пусть – точки из и – точки на . Будем считать ( предшествует ). Тем самым мы задали направление на кривой .
Рассмотрим частный случай отображения, когда . Возьмём декартову систему координат, то есть точку 0 из и ортонормированный базис .
Тогда непрерывная вектор-функция – геометрический вектор. Закрепим его начало в начале координат и этот, уже несвободный вектор, обозначим
(1)
и назовём радиус-вектором. При непрерывном изменении параметра конец радиус-вектора опишет некоторую кривую (годограф), о которой речь шла выше.
Очевидно, векторное равенство (1) эквивалентно системе
( )
скалярных уравнений. Равенство (1) называют векторным представлением кривой, а ( ) – параметрическим.
О параметрическом представлении кривой на плоскости уже говорилось в §7 гл. 5. Обратим внимание только на неоднозначность такого представления. Например,
(2)
– различные представления одной и той же кривой – эллипса.
Будем трактовать параметр как время. Тогда (1) или ( ) определяют не только траекторию движения точки, но и закон движения точки по этой траектории. Из (2) видно, что по одной и той же траектории (эллипсу) точки движутся по разным законам, то есть у них разные скорости и ускорения, в чём мы убедимся позже.
Если при разных значениях функция принимает одно и то же значение, то говорят, что кривая имеет кратные точки. Например, эллипс (см. второе представление в (2)) пробегается дважды, все его точки кратные. Кривую без кратных точек называют простой. В этом случае отображение взаимно-однозначное. Если – единственная кратная точка, то кривая называется замкнутой, или контуром (см. первое представление в (2)).
Замечание. Параметрическое представление кривой является настолько общим, что имеются примеры непрерывных кривых, которые не совпадают с обычным представлением о кривой. Например, можно так определить функции , что при непрерывном возрастании от 0 до 1 переменная точка , отправляясь из начала координат, пробежит буквально все точки единичного квадрата и окажется в точке (1,1). Эту кривую называют кривой Пеано.
Пусть (1) – векторное представление непрерывной кривой, а параметр – время. Очевидно, векторы и коллинеарные и расположены на секущей.
. (3)
Так как предельное положение секущей есть касательная, то предполагая существование производной , из (3) в пределе получим
. (4)
Здесь – скорость движения точки по траектории, – единичный вектор касательной. При этом из способа задания направления кривой следует, что всегда направлен в сторону движения точки, если .
Пусть – произвольная точка на касательной. Тогда из (4) следует коллинеарность векторов и , то есть
(5)
Получили уравнение касательной к кривой в точке .
Рассмотрим в простую кривую
. (6)
Пусть – некоторое разбиение отрезка . Обозначим это разбиение
.
Каждой точке разбиения отвечает точка кривой. Соединяя последовательно точки отрезками прямой, получим ломанную, вписанную в кривую . Обозначим через длину ломанной. Тогда
. (7)
Здесь .
Определение. Величина , где верхняя грань взята по возможным разбиениям , называются длиной кривой . Если , то кривая называется спрямляемой. Если – непрерывная, отличная от нуля функция на , то кривая (6) называется гладкой.
Теорема 1. Если кривая (6) гладкая, то она спрямляемая, а её длина удовлетворяет неравенству
(8)
Здесь
(9)
Inf и производных берутся по отрезку .
Доказательство. Так как функции удовлетворяют теореме Лагранжа на каждом из отрезков , то имеем
Подставляя это в (7), получим
. (10)
Из (9) следует
, , . (11)
Учитывая (11), из (10) получим
(12)
Поскольку (12) имеет место для любого разбиения, а sup всегда существует, то из (12) следует (8). Теорема доказана.
Будем отсчитывать длину дуги от начальной точки . Пусть , – произвольная точка дуги . Тогда переменная длина дуги – функция непрерывная и строго возрастающая.
Теорема 2. Если кривая (6) гладкая, то непрерывно дифференцируемая функция, причём
(13)
Доказательство. Запишем формулу (8) для отрезка , . Разделив все части полученного неравенства на , имеем
. (14)
Напомним, что ,
.
В силу гладкости кривой функция непрерывна, поэтому
.
Аналогично найдём, что
,
.
Переходя к пределу в (14), получим
.
Тогда, согласно теореме о двух милиционерах из (14), получим (13). Теорема доказана.
Следствие 1. Если при задании кривой вместо параметра взять длину дуги , то, аналогично рассуждая, вместо (13) получим
( )
Так как строго возрастает, то и из ( ) следует, что
и (15)
Где – единичный вектор касательной. Величину называют дифференциалом дуги .
Следствие 2. Так как строго монотонная и непрерывно дифференцируемая функция, то она имеет обратную функцию, строго монотонную и непрерывно дифференцируемую (см. §11 гл. 4).
Следствие 3. Если , то из следует, что .