- •2) Логарифмическая функция
- •3) Степенная функция
- •4) Обратные тригонометрические функции
- •Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1. Понятие производной функции
- •§2. Геометрический и физический смысл производной
- •§3. Дифференцируемость функции. Дифференциал
- •§4. Правила вычисления производной и дифференциала
- •§5. Производная обратной и сложной функций. Таблица производных
- •§6. Производная высшего порядка. Формула Лейбница
- •§7. Производные высших порядков от сложной, неявной и параметрически заданной функций
- •§8. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков
§5. Производная обратной и сложной функций. Таблица производных
Теорема 1. Пусть функция определена, непрерывна и строго монотонна в окрестности точки и пусть ее производная в точке существует и отлична от нуля, Тогда обратная функция также имеет производную в точке , причем
. (1)
Доказательство. Существование обратной функции , непрерывной и строго монотонной в окрестности точки гарантирует теорема 3 §11 главы 4. Поэтому условия
и
эквивалентны и так как обе функции строго монотонны, то и . Запишем тождество
.
Переходя к пределу, имеем
Так как предел правой части существует, то существует и предел левой части, то есть
Теорема доказана.
Равенство (1) можно записать в симметричной форме
.
Индекс показывает, по какой переменной берется производная.
Пример 1. Найти
Решение. .
Согласно имеем
.
Итак,
.
Пример 2.
.
Итак,
.
Упражнение. Доказать, что , .
Если , а , то суперпозицию этих функций называют сложной функцией .
Теорема 2. Если и существуют, где , то существует и производная сложной функции в точке , причем
.
Доказательство. Так как функции и имеют производные в точках и соответственно, то и непрерывны в этих точках (см. §7). Сложная функция непрерывна в точке (см. теорему 2 §8 гл. 4), поэтому при . Функция дифференцируема в точке , поэтому
(см. §3). . Итак,
.
Теорема доказана.
Пример 3. Найти производную степенной функции .
Решение. , – сложная функция. Воспользуемся .
.
Итак,
Пример 4. сложная функция.
Итак,
Пример 5. сложная функция.
Замечание 1. Теорема 2 верна и для большего числа суперпозиций функций.
Пример 5.
Сведем все вычисленные выше производные в таблицу (таблицу выучить наизусть).
Таблица
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2. Как видно из приведенных примеров, основные элементарные функции дифференцируемые. Из правил дифференцирования суммы, произведения, отношения, сложных функций следует, что любая элементарная функция имеет производную в области определения и является элементарной функцией в области определения.
§6. Производная высшего порядка. Формула Лейбница
Пусть функция определена на интервале и в каждой точке этого интервала имеет производную . Так как производная является функцией, определённой на интервале , то сама может иметь производную. Производная от производной называется второй производной, или производной второго порядка. Обозначают её так:
Аналогично можно ввести третью и так далее производную. n-я производная – это производная от -й производной
.
Функция называется n-раз непрерывно дифференцируемой в точке x, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой
-я производная непрерывна. Естественно, что -я производная в этой точке – функция дифференцируемая.
Пример 1. .
Очевидно
(1)
Формулу можно доказать методом математической индукции.
В частности, если натуральное, то !, а при .
Пример 2. ,
(2)
Пример 3. ,
– гипотеза.
.
Формула доказана методом математической индукции.
Упражнения. Доказать, что
Очевидно, константу можно вынести за знак производной любого порядка, то есть
.
Производная от суммы двух функций равна сумме производных, то есть
,
если последние существуют.
Найдём теперь -ю производную от произведения двух функций. Докажем, что
, (3)
где Формула (3) называется формулой Лейбница.
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции, предварительно отметив, что
Проверим формулу (3) при .
– формула справедлива. Пусть (3) справедлива. Найдём -ю производную.
(введём обозначение в первой сумме)
.
Что и требовалось доказать.
Пример 4. Найти .
Решение. Воспользуемся формулой Лейбница.
.