- •2) Логарифмическая функция
- •3) Степенная функция
- •4) Обратные тригонометрические функции
- •Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1. Понятие производной функции
- •§2. Геометрический и физический смысл производной
- •§3. Дифференцируемость функции. Дифференциал
- •§4. Правила вычисления производной и дифференциала
- •§5. Производная обратной и сложной функций. Таблица производных
- •§6. Производная высшего порядка. Формула Лейбница
- •§7. Производные высших порядков от сложной, неявной и параметрически заданной функций
- •§8. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков
§2. Геометрический и физический смысл производной
Пусть – функция непрерывная на интервале , и – точки графика этой функции. Здесь
, Проведем через точки и секущую (см. рис.). Запишем уравнение секущей.
.
. (1)
Здесь
(2)
– угловой коэффициент секущей. При в силу непрерывности функции расстояние между точками и
стремится к нулю. Точка по кривой приближается к точке , а секущая поворачивается вокруг точки . Ее предельное положение называют касательной к кривой, то есть к графику функции в точке . Тогда из (2) получим угловой коэффициент касательной
. (3)
А из уравнения секущей получим уравнение касательной
. (4)
Из рисунка видно, что угловой коэффициент секущей (2) равен тангенсу угла ее наклона к оси , то есть Так как , то отсюда ясен геометрический смысл производной – это угловой коэффициент касательной в точке . Если или то касательная будет перпендикулярна оси . Ее называют вертикальной касательной, а точку на кривой – точкой перегиба. Говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную (см. рис.).
Если левая и правая производные в точке бесконечности разных знаков ( или наоборот), то и в этом случае прямую называют вертикальной касательной, а точку на кривой называют точкой возврата графика функции (см. рис.).
Пример 1. Найти касательную к графику функции в точке (см. рис.).
Решение.
Так как функция не имеет производной в точке , то не имеет и касательной в точке . Однако, есть левая и правая касательные в этой точке: и . Точка графика функции называется угловой.
Пример 2. Найти касательную к графику функции в точке .
Решение. – вертикальная касательная (см. рис. 5.7).
Пример 3. Найти производную в точке .
Решение.
, .
Функция не имеет бесконечной производной в точке , но имеет вертикальную касательную. Точка (0,1) графика функции является точкой возврата (см. рис.).
Пусть – закон движения точки по траектории, то есть закон изменения пути от времени .
|
Пусть в момент времени точка находится в пункте , а в момент времени в пункте , то есть за время точка прошла путь, равный
(см. рис.).
Величину
называют средней скоростью движения точки на участке , а
называют величиной мгновенной скорости в момент времени . Таким образом, одна из физических интерпретаций производной – скорость движения точки.
Пусть – масса стержня длиной . Тогда – масса стержня длиной , а средняя плотность участка стержня длиной . линейная (погонная) плотность стержня.
Пусть – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Тогда количество электричества, протекающее за время , средний ток за время , а мгновенный ток в момент времени .
Можно привести и другие интерпретации производной.