- •Раздел 1. Определенный интеграл
- •Раздел 2. Несобственные интегралы
- •Раздел 3. Приложения к геометрии
- •Раздел 4. Приближенные вычисления определенных
- •Предисловие
- •Раздел 1. Определенный интеграл
- •1.1. Понятие определенного интеграла
- •1.2. Свойства определенного интеграла
- •1.3. Таблица простейших определенных интегралов
- •1.4. Некоторые примеры на применение свойств и вычисления определенного интеграла
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Ответы.
- •1.5. Замена переменной в определенном интеграле
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Ответы:
- •1.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Ответы:
Примеры для самостоятельного решения
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
13) 14) 15)
16) 17) 18)
19) 20)
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ;
12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ;
17) ; 18) ; 19) ; 20)
1.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть функции и вместе со своими производными и непрерывны на промежутке [a;b]. Поскольку
, т.е. ,
то, проинтегрировав второе равенство, получим формулу, которую называют формулой интегрирования по частям в определенном интеграле:
. (2)
Пример 15. Вычислить .
Решение. Интегралы такого вида вычисляются по формуле (2). Подынтегральное выражение представим в виде произведения функции и дифференциала функции . Для этого полагаем и . Из этих равенств находим и . Подставим найденные , и в формулу (2):
.
Пример 16. Вычислить .
Решение. В этом интеграле сделаем сначала замену , чтобы избавиться от иррациональности в степени. Продифференцируем равенство замены: . Поменяем пределы интегрирования: − нижний предел изменения переменной ; − верхний предел изменения переменной . Итак, имеем:
.
Полученный интеграл точно такого же вида, как интеграл , рассмотренный в предыдущем примере. Следовательно, мы его будем вычислять, пользуясь формулой (2). Положим для этого и , откуда имеем и . Подставим найденные , и в формулу (2):
.
Пример 17. Вычислить .
Решение. Применяем формулу (2), полагая , а . Тогда ,
.
По формуле (2) имеем:
.
Пример 18. Вычислить .
Решение. Применяем формулу (2), полагая , а . Из этих равенств имеем: , . Следовательно,
.
Пример 19. Вычислить .
Решение. Применяем формулу (2), полагая , а . Из этих равенств имеем: ,
.
Следовательно,
.
При решении этого примера мы пользовались следующими известными формулами:
, где [ ] , и .
Пример 20. Вычислить .
Решение. Применяем формулу (2), полагая , а . Из этих равенств имеем: , а . Следовательно,
={интеграл найдем, сделав замену . Поменяем пределы интегрирования. Для этого подставим в равенство , определяющее замену переменной, сначала нижний предел и найдем − нижний предел интегрирования после замены, а потом верхний предел и найдем − верхний предел после замены}
.
Итак,
.
Пример 21. Вычислить .
Решение. Так как функция в квадрате, то нам придется для вычисления данного интеграла дважды интегрировать по частям. Применяем формулу (2), полагая , а . Из этих равенств находим и :
,
.
Следовательно,
.
Итак, мы получили:
. (*)
Вычислим теперь интеграл . Для этого опять будем интегрировать по частям. Полагаем , а . Из этих равенств находим и :
,
Следовательно,
.
Подставим найденный результат в формулу (*) вместо интеграла и получим:
.