- •Раздел 1. Определенный интеграл
- •Раздел 2. Несобственные интегралы
- •Раздел 3. Приложения к геометрии
- •Раздел 4. Приближенные вычисления определенных
- •Предисловие
- •Раздел 1. Определенный интеграл
- •1.1. Понятие определенного интеграла
- •1.2. Свойства определенного интеграла
- •1.3. Таблица простейших определенных интегралов
- •1.4. Некоторые примеры на применение свойств и вычисления определенного интеграла
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Ответы.
- •1.5. Замена переменной в определенном интеграле
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Ответы:
- •1.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Ответы:
Раздел 1. Определенный интеграл
1.1. Понятие определенного интеграла
Рассмотрим задачу, которая в свое время положила начало интегральному исчислению. Это так называемая задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Пусть на промежутке [a;b] ( ) задана произвольная функция . Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную графиком функции и прямыми , , (рис. 1).
0
Рис. 1
Полученную плоскую фигуру называют криволинейной трапецией. Для вычисления площади этой криволинейной трапеции разобьем произвольным образом отрезок [a;b] на части точками xi (i=0, 1, 2, . . . , n): . В каждом промежутке (i=1, 2, . . . , n) произвольным образом выберем точку и построим прямоугольник с высотой и шириной (рис. 2).
Рис. 2
Площадь такого прямоугольника равна абсолютной величине числа . Всего имеем п таких прямоугольников. Обозначим сумму чисел через , т.е.
.
Сумму называют интегральной суммой Римана или просто интегральной суммой.
В случае, если функция неотрицательна на промежутке [a;b], т.е. , величина приближенно равняется площади рассматриваемой криволинейной трапеции. По-видимому, чем меньше будет максимальная длина отрезков , являющихся шириной образованных прямоугольников, тем больше будет таких прямоугольников и тем меньше будет отличаться сумма от площади рассматриваемой криволинейной трапеции.
Определение. Если, при любом способе разбиения отрезка [a;b] на части точками xi и при любом способе выбора точек , всякий раз последовательность чисел будет иметь один и тот же предел при , то функция называется интегрируемой, а число называется определенным интегралом Римана или просто определенным интегралом от функции по промежутку [a;b]. Обозначают этот интеграл как .
Таким образом, если функция интегрируема на промежутке [a;b], то
.
Число а называется нижним пределом интегрирования, а число b − верхним пределом интегрирования.
В случае, если функция неотрицательна на промежутке [a;b], то определенный интеграл в точности равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми , , (в этом состоит геометрический смысл определенного интеграла).
Теорема. Если функция непрерывна на промежутке [a;b], то определенный интеграл существует.
1.2. Свойства определенного интеграла
1. Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то определенный интеграл от любой функции равен нулю:
.
2. Если функция интегрируема на промежутке [a;b], то принимается соглашение:
.
3. Если существуют определенные интегралы и , то
.
4. Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
.
5. Если функция интегрируема на промежутке [a;b], то функция интегрируема и на любом промежутке [ ], содержащемся в промежутке [a;b].
6. Если и определенный интеграл существует, то
.
7. Если [a;b] и определенный интеграл существует, то
.
8. Если существуют определенные интегралы и и [a;b], то
.
9. Если функция ограничена снизу и сверху на промежутке [a;b], т.е. [a;b], и определенный интеграл существует, то
.
10. Теорема (о cреднем). Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то в интервале (a;b) существует такая точка с, что
.
11. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Если функция интегрируема на промежутке [a;b], то по свойству 5 эта функция интегрируема и на любом промежутке [a;х], [a;b], т.е. интеграл существует. При изменении х значение интеграла , вообще говоря, будет меняться, и, таким образом, этот интеграл представляет собой функцию от х. Интеграл называют определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то
, [a;b],
т.е. производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой вместо переменной интегрирования подставлен верхний предел.
12. Формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и – какая-либо первообразная функции , то
.
Обозначая , последнюю формулу перепишем в виде:
.
13. Если функция интегрируема на промежутке [ ] и является четной на этом промежутке (т.е. [ ]) , то
.
14. Если функция интегрируема на промежутке [ ] и является нечетной на этом промежутке (т.е. [ ]), то
.