3 Моделювання екологічних cистем за допомогою диференційних рівнянь

Метод теорії диференціальних рівнянь є найефективнішим методом побудови математичних моделей, що описують динаміку екосистем, враховуючи взаємодію як окремими елементами екосистеми, так і між елементами екосистеми і зовнішніми факторами середовища, в якому функціонує кожен елемент екосистеми. Ці рівняння можуть описати різні види динаміки біологічних і екологічних процесів.

3.1. Поняття похідної та її застосування до вивчення законів природи, операції диференціювання та інтегрування

3.1.1 Задачі, що приводять до поняття похідної

Розглянемо кілька задач, розв'язування яких допоможе усвідомити суть поняття похідної.

З адача про дотичну до кривої. В елементарній математиці розглядається дотична до кола, яка визначається як пряма, що мас з колом одну спільну точку. Якщо розглядати будь-яку криву(рис. 3.1), яка є графіком деякої заданої на відрізку (а,в) функції

у =f (х), (3.1.1)

то таке визначення дотичної не підходить. Дійсно, для параболи таких рис 3.1 прямих, що мають одну спільну точку з кривою (параболою), можна провести безліч, але вони не будуть дотичними. Отже, узагальнено ми повинні дати таке визначення дотичної до кривої в даній точці:

Дотичною до кривої в даній точці М₀(х₀,у₀) називається граничне положення січної М₀М, коли точка М наближається до точки М_о . Проведемо через точку М₀(х₀,y₀) дотичну М₀Т до перетину з віссю ОХ і позначимо кут нахилу до осі абсцис через α. Кут нахилу січної М₍₎М до осі абсцис позначимо через (рис. 3.1). З рисунка видно, як визначити кут або tg , а саме:

(3.1.2)

Якщо точка М, рухаючись по кривій, наближатиметься до точки М₀ ( x 0), то величина кута буде прямувати до кута α, а tg tg α. Звідси випливає, що тангенс кута нахилу дотичної до осі Ох у точці М₀(х₀,y₀) визначається рівністю 3.1.2.

Як відомо, тангенс куга нахилу прямої до осі абсцис називається кутовим коефіцієнтом k (див. розділ 2.2). Отже, якщо ми хочемо записати рівняння дотичної до кривої у =f (х) у точці М₀(х₀,у₀), то потрібно скористатися рівнянням прямої, що про­ходить через дану точку, а саме:

у-у₀ =к(х-х₀), (3.1.3)

де кутовий коефіцієнт k= tg α визначається рівністю (3.1.2).

Задача про визначення швидкості тіла, що рухається нерівномірно. Роз­глянемо спочатку тіло, що рухається рівномірно по прямій 0S (рис. 3.2). Швидкість руху тіла V у даному разі дорівнює шляху, пройденому тілом за одиницю часу, а саме:

(3.1.4)

Розглянемо тепер ситуацію, коли тіло рухається нерівномірно, тобто за рівні проміжки часу тіло проходить різні від­стані. У такому разі відношення (3.1.4) характеризує середню швидкість руху тіла.

Очевидно, чим менший буде проміжок часу t = t – t₀, а отже і проміжок шляху S = S - S₀, тим більше наближатиметься середня швидкість V_сер до справжньої (реальної) швидкості, яку ще називають миттєвою швидкістю у даний момент часу. Отже, якщо пройдений тілом шлях S задано як функцію від часу t, то середня швидкість руху V_сер на проміжку часу від t до t + t визначається відношенням (рис. 3.2)

(3.1.5)

а миттєва швидкість (або просто швидкість) руху тіла в момент t визнача­ється внаслідок граничного переходу, тобто:

(3.1.6)

Задача хімічної кінетики. Хімічна кінетика є розділом фізичної хімії, в якому вивчаються швидкості хімічних реакцій і ті проміжні й кінцеві продукти (речовини), що утворюються під час протікання цих реакцій. Нехай у момент t₀ протікання реакції перетворення речовини А в речовину В маса речовини, що прореагувала, була m₀, а через деякий час t маса речовини А стала дорівнювати m₁. Отже, за час від t₀ до t₀+ t прореагувала маса речовини, що дорівнює m = m₁-m₀. Швидкістю хімічної реакції називаєть­ся кількість (маса) речовини т, що вступила в реакцію або утворилась внаслідок реакції за одиницю часу в одиниці об'єму. Оскільки реакція відбу­вається нерівномірно, то справжню (дійсну) швидкість V_А можна визначити тільки за допомогою вже знайомої нам рівності

(3.1.7)

Під концентрацією речовини розуміють кількість (масу) речовини в одиниці об'єму, тобто:

(3.1.8)

де W_А - об'єм речовини А, що прореагувала, а W_В - об'єм речовини В, що утворилась.

3.1.2 Означення похідної та невизначеного інтегралу

Таким чином, якщо на проміжку (а,в) задана функції у =f (х), то границя відношення приросту функції y до приросту аргументу х за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, називається похідною функції f(х) по аргументу х.

Для похідної застосовуються такі символічні позначення:

(3.1.9)

Або

(3.1.10)

Позначення у^’ =f^’’ (х) ввів французький математик Ж. Л. Лагранж (1736-1813), а позначення ввів німецький математик Л. Лейбніц (1646-1716). Вживаються і такі позначення : , і т. д. Операція знаходження похідної даної функції називається диференціюванням.

Якщо дана функція Z залежить від двох аргументів х і у, то вводиться поняття частинного приросту функції, а саме:

(3.1.11)

а також поняття частинних похідних, а саме:

(3.1.12)

За допомогою формул (3.1.9)—(3.1.12) можна знайти похідну від будь-якої елементарної функції однієї змінної або частинну похідну функції двох незалежних змінних. Якщо задана похідна:

f '(х) = F(х), (3.1.13)

а потрібно знайти функцію f(х), то така обернена до операції диференціювання операція знаходження функції за її похідною називається інтегруванням. Функція f (х) у даному разі називається, первісною, а сукупність f (х) + С усіх первісних - невизначеним інтегралом від функції F (х) і позначається так:

(3.1.14)

Рівняння (3.1.13), в яке входить похідна невідомої функції у = f(х) називається диференціальним рівнянням. Розв'язати диференціали рівняння означає знайти невідому функцію у = f(х) або сімейств функцій f(х) + С, які задовольняють дане диференціальне рівнянні наприклад рівняння (3.1.13). Для розв'язку такого простого рівняння, як (3.1.13), застосовується формула (3.1.14).

Таблица похідних і інтегралів

Функція	Похідна	Інтеграл

Тепер розглянемо деякі приклади побудови простих матема­тичних моделей за допомогою поняття похідної і диференціального рівняння.

Приклад 1. За сприятливих умов знаходиться деяка кількість бактерій N_0. З експериментальних досліджень відомо, що швидкість розмноження таких бактерій пропорціональна їх кількості. Знайдемо залежність числа бактерій від часу, пам'ятаючи, що швидкість розмноження визначається як похідна. Отже, можна записати рівняння

(3.1.15)

де коефіцієнт пропорціональності r залежить від виду бактерій і назива­ється коефіцієнтом або константою швидкості розмноження бактерій.

Розділяючи змінні в (3.1.15) і інтегруючи, одержимо

(3.1.16)

Або

lnN = rt + lna, A = lna (3.1.17)

звідси

(3.1.18)

Скориставшись додатковою інформацією

N(0) = N₀ (3.1.19)

Рівність(3.1.22) запишемо в такому вигляді:

N(t) = N₀e^rt (3.1.20)

Щоб визначити сталу r, потрібно знати кількість бактерій у будь-який момент часу t = t₁. Нехай відомо

N(t₁) = N₁ (3.1.21)

Підставивши (3.1.21) в (3.1.20), одержимо:

N₁ = N₀e^rt1 (3.1.22)

Прологарифмуємо ліву і праву частини рівності (3.1.22):

(3.1.23)

Звідси знаходимо шукане значення константи r.

(3.1.24)

Отже, формулу (3.1.20) можна записати так:

(3.1.25)

де через символ ехр позначається експоненціальна залежність ехр = e ≈2,72.

Приклад 2. Згідно із законом хімічної кінетики (законом діючих мас) швидкість протікання реакції пропорціональна масі або концентрації речовини, що вступає в реакцію, тобто:

(3.1.26)-(3.1.27)

де с_А і с_в - концентрації відповідно речовини А і В, причому речовина А перетворюється на речовину В. Знак мінус у правій частині рівняння (3.1.26) означає, що кількість речовини А зменшується. Якщо використає поняття похідної, то швидкість протікання хімічної реакції є похідна від маси або концентрації по часу. Тому рівняння (3.1.26) і (3.1.27) можна записати у вигляді таких диференціальних рівнянь:

(3.1.28)

де к - коефіцієнт пропорціональності, який визначається для кожної речовини, що вступає в реакцію, на основі експериментальних даних.

Розв'язуючи (інтегруючи) диференціальне рівняння (3.1.28), одержимо

(3.1.29)

Щоб визначити постійні а і k, що входять до правої частини рівностей (3.1.29), потрібно знати концентрацію речовин А і В до початку реакції. Нехай відомо

c_A(0) = c(0) = c₀ (3.1.30)

Враховуючи (3.1.35) і (3.1.34), маємо:

a = c₀ (3.1.31)

Отже, дана реакція відбувається за таким законом:

(3.1.32)

Щоб знайти концентрацію речовини В, потрібно переписати рівняння (3.1 28) з урахуванням співвідношень (3.1.29) і (3.1.32), а саме:

(3.1.33)

Після інтегрування (3.1.33) одержимо:

(3.1.34)

Враховуючи, що C_B(0) = 0, знайдемо:

(3.1.35)

Отже, формула (3.1.34) матиме такий вигляд:

(3.1.36)

де k - стала швидкості протікання реакції для даної речовини.

Приклад 3. Похідна від похідної називається другою похідною, або похідною другого порядку, і позначається так:

(3.1.37)

Отже, друга похідна показує швидкість зміни першої похідної. Зокрема, якщо розглядати рух тіла при вільному падінні, то друга похідна визначається як похідна від швидкості руху тіла ν, тобто друга похідна від шляху S, пройденого тілом, по часу є прискорення рухомого тіла. Оскільки з даних експерименту відомо, що прискорення тіл при вільному падінні є величина пала і дорівнює g = 982 см/сек², то можна скласти таке рівняння:

або (3.1.38)

Інтегрування рівняння (3.1.38) один раз дає

(3.1.39)

Після інтегрування рівняння (3.1.45) одержимо

(3.1.40)

Щоб рівняння (3.1.40) описувало рух конкретного тіла, потрібно знати його початкове положення і початкову швидкість. Нехай відомо:

S(0) = S₀, ν(0) = ν₀ . (3.1.41)

Враховуючи додаткові дані (3.1.41) та рівняння (3.1.39) і (3.1.40) знайдемо:

(3.1.42)

Тепер формула (3.1.40), за якою визначається положення тіла при вільному падінні, матиме такий вигляд:

(3.1.43)