39. Градиент. Свойства градиента.

Градиентом ф-ии Z=f(x;y), в точке М (x₀, y₀), называется вектор координаты которого = соответствующим частным производным функции f в т. М

Grad f (M) = (f ^!_x(M); f ^!_y(M))

Следствие:

Своиства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.

1.)Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0.

2.)Градиент ⊥ линиям уровня

3.)Свойства градиента

40.Частные производные высших порядков.

Рассматривая 41.я частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,

называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения

,

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=2³ ), 4-го порядка (их будет 16=2⁴ ) и т.д.

41. Теорема о равенстве смешанных производных.

Если смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.

42. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в формуле Лагранжа.

43. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.

Точка М называется точкой локального минимума функции у= f(X), если существует такая окрестность М, что в любой точке Xэтой окрестности выполняется неравенство f(М) ≤ f(X).

Аналогично точка М называется точкой локального максимума функции y = f(X), если существует такая окрестность М, что в любой точке X этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≥ f(X).

Точки локальных минимумов и максимумов функции у = f(X) называются точками локальных экстремумов данной функции (рис. 18).

44. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Для того чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум в точке необходимо чтобы все производные 1-го порядка в точке ( ) = 0, т.е. , ( )

45. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Если и то - точка максимума.

Если и то - точка минимума.

Тогда: 1. если ∆ > 0, то функция f(x;y) в точке (x₀;y₀) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если ∆ < 0, то функция f(x;y) в точке (x₀;y₀) экстремума не имеет.

В случае ∆ = 0 экстремум в точке (x₀;y₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

46. Условный экстремум.

Пусть Z=f( ) определена в области D с Rⁿ и пусть Х с D – где Х это некоторое подмножества в области D. Точка Х₀ с Х – наз. Точкой локального экстремума (лок. Маккс. Или лок. Мин ) ф-ии f если существует f( )≤ f( ), (min) f( )≥ f( )

Пусть Х задано системой уравнения

47. Метод Лагранжа

Для задачи об экстремуме функции f (х₁, x₂,..., x_n) при условиях (уравнениях связи) φ_i(x₁, x₂, ..., x_n) = 0, i = 1, 2,..., m, функция Лагранжа имеет вид

Множители y₁, y₂, ..., ym наз. множителями Лагранжа.

Если величины x₁, x₂, ..., x_n, y₁, y₂, ..., ym суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений

i = 1, …, n; i = 1, …,m,

то при достаточно общих предположениях x₁, x₂, ..., x_n доставляют экстремум функции f.