25. Функция нескольких переменных

Функции нескольких переменных

У = f (х_1,х_2,... ,х_п) используются для описания тех встречающихся в практических задачах ситуаций, когда значение одной величины у однозначно определяется значениями набора величин х_1, х_2,...,х_п. Иногда вместо y = f(x_l,x_2,..._,x_n) пишут у = f(А), где A = (x_1,x_2,..._,x_n) ϵ Rⁿ.

Величины х_1, х₂,...,х_п называются аргументами функции; множество допустимых значений аргументов А = ( х₁, х₂,..., х_п) называется областью определения функции и обозначается D(f). Множество значений у= f(A), получающихся при всех А из области определения, называется областью значений функции.

26. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных

линии (поверхности) уровня. Для непрерывной функции двух переменных у = f(x₁, х₂) линии уровня - это линии на плоскости с координатами (х₁, х₂), задаваемые уравнениями f{x_1, x₂)=c_k для некоторого набора значений функции с1,с_2, ..._,с_т. Например, горизонтали на топографической карте являются пиниями уровня для функции высоты над уровнем моря. При п > 2 говорят о поверхностях уровня.

Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхности уровня (также называемой изоповерхностью). Поверхностью уровня скалярного поля u = u(x,y,z) называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением u(x,y,z) = c.

Для плоского поля вместо поверхности получаются линии уровня. Примеры: изобата, изотерма и прочие изолинии.

27-28. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Пусть дана функция у = f(А)_, и пусть D(f) - область ее определения. Предположим, что точка А₀ является предельной точкой множества D(f). Рассмотрим все сходящиеся к А₀ последовательности точек множества D(f), ни один из элементов которых не совпадает с точкой А₀. Для каждой такой последовательности {А_к} построим последовательность значений {f_k}: f_k= f(A_k). Если окажется, что все построенные так последовательности значений функции сходятся к одному, общему для них всех, числу а, то это число называется пределом функции y = f(A) в точке A₀ и обозначается .

Функция у = f(A) называется непрерывной в точке А₀ ϵ D(f) , если предел существует и равен f(А₀). Функция у = f(А) называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

29. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значения.

1) Если– непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве, то она ограничена на этом множестве и принимает на этом множестве своё наибольшее и наименьшее значение. 2) Если z=f (x₁, x₂,.., x_n) непрерывна в некотором множестве Х и в некоторых его точках принимает значение в точках А и В, А<В, то для любой точки С: А<С<В найдется Х – точка с коэффициентом = (x₁, x₂,.., x_n) € Х такая что : f(x)=C.

3) Если f(x) и g(x) непрерывна в точке х=х₀, то f(x) ± g(x), f(x) * g(x), f(x) ÷ g(x), где g(x) ≠ 0 непрерывна в точке х=х₀.

4) Если f(x) непрерывна в точке х₀, а ϕ(t)- это функция одной переменной определена и непрерывна в т. t₀ = f(x₀) => ϕ (f(x)) непрерывна в точке t₀ = f(x₀) => а значит в точке х_0.

(об ограниченности и существовании экстремумов)   Если функция непрерывна в замкнутой и ограниченной области , то:

1) функция ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех ;

2) функция принимает в области наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки и , что при всех выполняются неравенства и .

(В этом случае точка называется точкой минимума, а точка  - точкой максимума функции в области .)