5.Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Производится несколько испытаний. Вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исхода других испытаний и P(A)=p такие испытания наз-ют независимыми относительно А.
Ставится
задача вычислить вероятность того, что
при n
испытаний событие А произойдёт ровно
k
раз. 
вероятность.
Одно конкретное событие состоит в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз (и не наступит следовательно n-k раз) – это сложное событие , которое можно представить как следующее произведение независимых событий.
событие А произошло при i
испытании
событие А не произошло при j
испытании
Вероятность
такого события в силу, что
P(
)=P(
)*P(
)*P(
)*P(
)*…*P(
)={P(
)=p;
P(
)=1-q}=
Таких
сложных событий элементарных исходов
может быть 
.
Значит 
(использовали теорему сложения
вероятностей для сложения вероятностей).
- формула Бернулли
6.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях трудно. В таких случаях используют локальную теорему Лапласа.
Локальная теорема Лапласа: Если вероятность p – появление события А в каждом испытании постоянная и отличается 0 и 1 , то
где 
, x=
Для
вычисления 
используются специальные таблицы.
Интегральная
теорема Лапласа: Рассматривается
та же ситуация, что и выше задача:
вычислить вероятность 
того, что событие А появится в n
испытаниях не меньше 
и не более 
раз.
Интегральная теорема Лапласа: Если вероятность p – наступило событие А в каждом испытании постоянна и отличается 0 и 1, то
Где
<= формула
Лапласа
7. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Считаем, что производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p.
Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от вероятности p по абсолютной величине не превосходит заданного числа ε:
Последнее
неравенство домножим на
.
Согласно Т.Лапласа:
8. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.
Опр. Наивероятнейшим числом появлений события А в n независимых испытаниях называется такое натуральное число m0, для которого вероятность, соответствующая этому числу, не менее вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события А.
Должны выполняться следующие неравенства:
1) Pn(m0)>=Pn(m0+1)
2) Pn(m0)>=Pn(m0-1)
В силу формулы Бернулли
Решим неравенства относительно m0
Длина интервала [np-q, np+p] равна –(np-q)+(np+p)=p+q=1.
Значит, может быть либо 2 значения m0 (если (np-q) – целое число), либо 1 значение (если (np-q) – дробное число).
9. Случайные величины. Закон распределения вероятностей. Биноминальное распределение. Геометрическое распределение.
Случайные величины (СВ).
Опр. Случайной называют величину, которая в результате опыта примет одно и только одно значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
СВ обозначаются, как правило, X, Y, Z, W,…
Пусть СВ мы обозначили Х, тогда возможные значения СВ обозначаются х1, х2,…,хn,…
CВ бывают дискретные и непрерывные.
Опр. Дискретной СВ называют СВ, которая принимает отдельные, изолированные, возможные значения с определенными вероятностями.
Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.
Опр. Непрерывной СВ называют СВ, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной СВ бесконечно.
Закон распределения вероятностей дискретной СВ.
Опр. Законом распределения вероятностей дискретной СВ называют соответствие между возможными значениями этой СВ и их вероятностями.
Его можно задать таблично, аналитически, графически.
Биноминальное распределение.
Рассматривается схема Бернулли. Рассмотрим в качестве дискретной СВ Х число появлений события А в n независимых испытаниях.
X |
0 |
1 |
… |
P |
qn |
npqn-1 |
… |
Геометрическое распределение.
Рассмотрим схему Бернулли.
Пусть СВ Х – число проведения экспериментов по схеме Бернулли до наступления первого успеха.
Закон распределения СВ Х: P(X=k).
Первый успех в k-ом испытании наступит т. и т.т., когда:
а) первые (k-1) эксперименты закончились неудачей. Вероятность этого qk-1.
б) k-ое испытание закончилось успехом. Вероятность этого р.
Т.о. P(X=k)=pqk-1 – формула геометрического распределения (k=1, 2, …).
Проверим,
что
.
