- •1.Основные понятия теории вероятностей. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные понятия тв.
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •2. Алгебраические операции над событиями. Отношение м/д событиями. Аксиоматическое определение вероятности события. Отношение м/д событиями
- •Аксиоматическое определение вероятностей события
- •3.Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •4.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •5.Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •6.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •7. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •8. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.
- •9. Случайные величины. Закон распределения вероятностей. Биноминальное распределение. Геометрическое распределение.
- •10. Распределение Пуассона.
- •11. Функция распределения св и ее свойства.
- •12. Непрерывные св. Равномерный закон распределения.
- •13 Показательный закон распределения. Нормальный закон распределения.
- •14 Многомерные случайные величины. Ф-ция распределения многомерной случайной величины, её свойства.
- •15 Двумерные непрерывные св. Плотность распределения вероятностей двумерной св, её свойства
- •16 Двумерные св. Условные законы распределения.
- •17 Независимые случайные величины. Критерий независимости.
- •18 Функции случайных величин, их законы распределения.
- •19.Числовые характеритики св.
- •20.Моменты распределения одномерной св.
- •21.Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 св, их свойства.
- •22.Условное мат ожидание
- •23. Двумерное нормальное распределение. Условие независимости некоррелированных св.
- •24.Теорема об условных распределениях компанент двумерной нормально распределенной св.
- •25 Характеристические функции случайных величин, их свойства. Примеры
- •26. Неравенства Маркова и Чебышева.
- •27. Теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •28. Центральная предельная теорема.
- •29. Теорема Ляпунова. Интегральная теорема Лапласса.
- •30. Распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
- •33. Оценка дисперсии случайной величины.
- •34. Неравенство Рао-Крамера. Следствие для несмещенной оценки
- •35. Эффективная оценка мат. Ожидания нормальной распределенной величины.
- •36. Асимптотически эффективные и сверх эффективные оценки. Теорема о состоятельности оценки.
- •37. Условные законы распределения. Условное мат. Ожидание.
- •38.Достаточные статистики. Критерий факторизации
- •39.Теорема Колмагорова – Блекуэлла.
- •41. Метод моментов
- •42. Распределение….
- •43. Распределение Стьюдента.
- •44. Теоремы о случайной величине, имеющей распределение Стьюдента.
- •45. Распределение Фишера. Теорема о случайной величине, имеющей распределение Фишера
- •46 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -неизвестно)
- •47 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -известно)
- •48 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределеннной с.В.
- •55 Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенный с.В.
1.Основные понятия теории вероятностей. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные понятия тв.
Под событием ТВ понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Примеры: А-появление герба при бросании монеты; В-появление 3-х гербов при 3-х кратном бросании монеты; С-попадание в цель при выстреле.
Будем рассматривать вначале классическую вероятностную модель, которая используется для описания опытов с конечным числом взаимно-исключающих возможных исходов. Пусть результаты опыта описываются с взаимно-исключающими исходами . Эти исходы называют также элементарными событиями. Мн-во –это мн-во всех элементарных исходов называют множеством элементарных событий. Любое случайное событие А связанное с данным опытом может быть связано посредством перечисления всех элементарных событий, при которых оно происходит A={ }. Исходы наз-ют благоприятствующими событию А. Событие состоящее из всех возможных исходов наз-ют достоверным. |A|-число элементарных событий входящих в А. Вероятность - числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определимых могущих повторятся неограниченное число раз (обозначение P(A)).
Классическое определение вероятности:Классические вероятностные модели P(A)= (*). Более общий подход в определении P(A) следующий: с каждым из элементарных исходов связывающие неотрицательное число причём . Пусть A={ } тогда полагают, что P(A)= . Легко видеть, что (*) получается из послед-ей в случае, если .
,
число перестановок из m элементов
число упорядоченных размещений из n элементов по k
Статистическое определение вероятности
В основе лежит эксперимент. Проводят серию из n опытов, в каждом из которых может появиться событие A.Пусть А появилось в m случаях, тогда величина наз-ся относительной частотой события А. Её часто наз-ют статистической вероятностью события А. Обозначение: .
Геометрическое определение вероятности
Геометрической вероятностью явл-ся вероятностной моделью с бесконечным числом исходов. Возьмём в качестве элементарных событий мн-во точек плоскости. Считаем, что в этой плоскости задана система ккординат, Ω событие A . Вероятностью события А в модели геом-х вероятностей наз-ся число P(A)=
2. Алгебраические операции над событиями. Отношение м/д событиями. Аксиоматическое определение вероятности события. Отношение м/д событиями
А\В-это событие состоящее в том, что А происходит, а В-нет.
Свойства алгебраических операций над событиями:
А+В=В+А
А*В=В*А
(А+В)+С=А+(В+С)
(А*В)*С=А*(В*С)
(А+В)*С=А*С+В*С
А и В события, А В-событие А влечёт за собой событие В.
А=В- событие А тождественно событию В и означает А В и В А.
Система F подмножеств множества такая, что:
Ω
если А, В , то А+В и А*В
если А , то
называется алгеброй. Система F замкнута относительно операций +,*, -отрицание. Если система F замкнута относительно алгебраических операций над счётным числом событий, то она наз-ся σ-алгеброй.( )
Счётное мн-во - бесконечное мн-во м/д элементами, которого и элементами мн-ва натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.