П 11. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему (нижнему) пределу. Формула Ньютона-Лейбница

Т е о р е м а. Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в точке , то функция

(1)

дифференцируема в точке и

.

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что

,

где . Оценим модуль разности .

Заметим что и, следовательно, .

Поэтому будем иметь

(3)

Пусть задано . В силу непрерывности функции в точке , существует такое , что если и , то

(4)

Выберем так, что . Тогда для значении на отрезке, по которому ведется интегрирование, будем иметь и, следовательно, из (3) и (4) получим , а это и означает, что .

В том случае, когда совпадает с одним из концов отрезка , под следует подразумевать соответствующую одностороннюю производную функции .

Т е о р е м а 2 ( основная теорема интегрального исчисления ). Пусть функция непрерывна на . Если функция является её произвольной первообразной на этом отрезке, то

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция , как известно, является первообразной для на .

Таким образом, функции и две первообразные одной и той же функции на отрезке , поэтому

, ,

где некоторая постоянная, т. е.

При имеем

откуда

.

Следовательно,

.

Полагая здесь , получаем формулу

,

из которой следует, что определенный интеграл от функции на равен приращению какой-либо первообразной на этом отрезке.

Формула Ньютана-Лейюница

является основной формулой вычисления определенного интеграла.

П 12. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке . При этом , .

Так как функции и непрерывны, то и функция непрерывна.

Если , то

Поэтому

(1)

Выражение (1) называется формулой замены переменной в определённом интеграле.

Из (1) следует, что в определенном интеграле после выполнения замены переменной возвращаться к прежней переменной не нужно,

Очевидно, функции

должны быть интегрируемыми функциями.

Пр и м е р. Вычислите интеграл

Р е ш е н и е. 1) Подведение под знак дифференциала.

2) Замена переменной

.

П 13. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть функции , и их производные являются интегрируемыми функциями,

тогда

(2)

Формула (2) называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

Убедимся в справедливости этой формулы. Для этого воспользуемся выражением для дифференциала произведения Проинтегрируем это равенство на отрезке :

,

откуда

.

П р и м е р. Вычислите интеграл

Р е ш е н и е.