П. 8 Классы интегрируемых функций

Теорема 1. .

Доказательство:

Пусть функция непрерывна на отрезке , Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке. Зафиксируем некоторое . Тогда для найдется такое , что для разбиения отрезка на отрезки , длины которых , все колебания функции на отрезках разбиения удовлетворяют условию . Отсюда получим при условии . Следовательно, для непрерывной функции на отрезке выполнено достаточное условие интегрируемости. Значит, существует определенный интеграл . ■

Теорема 2. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке , кроме конечного числа точек разрыва, то функция интегрируема на отрезке .

Доказательство:

Достаточно рассмотреть случай одной точки разрыва на отрезке . Пусть , , - колебание функции на отрезке . Возьмем любое достаточно малое и рассмотрим отрезки и . На каждом из этих отрезков функция непрерывна. Следовательно, найдется такое , что при разбиении их на частичные отрезки , длины которых , все колебания функции на этих отрезках разбиения удовлетворяют условию . Пусть . Рассмотрим произвольное разбиение отрезка на частичные отрезки , длины которых . Для этого разбиения рассмотрим , где первая сумма составляется по частичным отрезкам, целиком лежащих вне -окрестности точки , а вторая сумма – по отрезкам, либо целиком лежащих в этой окрестности, либо имеющих общие с ней точки. Тогда имеем .

Длины отрезков, целиком попавших в -окрестность точки , в сумме не превосходит . Число отрезков, лишь частично попавших в эту окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше . Следовательно, . Таким образом, при условии . ■

Теорема 3. Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на отрезке .

Доказательство:

Пусть для определенности функция монотонно возрастает на отрезке . Если , то независимо от разбиения отрезка . Если , то для некоторого возьмем . Пусть - произвольное разбиение, для которого . Тогда . ■

П. 9 Свойства интегрируемых функций

Теорема 1. Пусть . Если изменить значение функции в конечном числе точек, то это не скажется на интегрируемости функции и на значении .

Доказательство:

Изменим значение функции в конечном числе точек отрезка . Тогда изменится только конечное фиксированное число колебаний функции на частичных отрезках . Так как , то . Таким образом, функция остается интегрируемой на отрезке .

П. 10 Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл обладает следующими свойствами:

1°. ,

справедливость следует из определения .

2°. Если интегрируема на и , то интегрируема и на .

3°. (аддитивность), где .

Справедливо и обратное

.

Из свойства 3° следует интегрируемость кусочно-непрерывной на функции .

О п р е д е л е н и е. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке ,если она имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода. При этом в точках разрыва функция может быть не определена, это значит, что в этих точках значение функции можно брать любым (конечным), и величина интеграла не меняется в этом случае.

4°. Если и интегрируемы на , то также интегрируема на и при этом

(линейность)

5°.Если и интегрируемы на , то и их произведение тоже интегрируемо на этом отрезке.

6°.Если на , то (следует из определения).

7°. Если и существует точка на , в которой непрерывна и ,

то (справедливость из определения и свойства непрерывной функции).

8°. , модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции

(справедливость следует из определения, из свойства модуля суммы и свойства предела последовательности).

9°. Пусть интегрируема на и . Тогда функции и непрерывны на .

– интеграл с переменным верхним пределом, ,

– интеграл с переменным нижним пределом, , .

Т. к. интегрируема на , то она интегрируема и на , где .

.

.

, так как по условию .

называется непрерывной в точке , при ;

, значит при следует .

Непрерывность доказывается аналогично.

10°. Интегральная теорема о среднем

Т е о р е м а. Пусть функции и интегрируемы на отрезке , ограничена, т. е. , а не меняет свой знак, т. е. либо , тогда существует такое число , , что

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, выполняется неравенство

.

(2)

Умножим (2) на , т. е.

(3)

Проинтегрируем неравенства (3)

.

(4)

Проанализируем (4)

1) если , то , значит (4) выполняется;

2)если , то

,

Так как , то полагаем

,

откуда получаем

.

(5)

Случай доказывается аналогично.

Если непрерывна на , , то функция принимает промежуточное значение, т.е. если , то существует такое , что и

.

(6)

Если , то выражение (6) принимает вид

,

откуда

, .

Это можно истолковать геометрически следующим образом. Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника со стороной . Это и есть среднее значение.

y

x

0 a b