Поведение функций [править] Сюръективность

Основная статья: Сюръекция

Функция f называется сюръективной (или, коротко, сюръекция), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция f сюръективна, если образ множества X при отображении совпадает с множеством Y: f[X] = Y.

Такое отображение называется ещё отображением на.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.

[Править] Инъективность

Основная статья: Инъекция (математика)

Функция f называется инъективной (или, коротко, инъекция), если разным элементам множества X сопоставлены разные элементы множества Y. Более формально, функция f инъективна, если для любых двух элементов таких, что f(x₁) = f(x₂), непременно выполняется x₁ = x₂.

Другими словами, сюръекция — это когда «у каждого образа есть прообраз», а инъекция — это когда «разные — в разные». То есть, при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов X отображались в один и тот же элемент Y. А при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент Y не имел прообраза.

[править] Биективность

Основная статья: Биекция

Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной.

[править] Возрастание и убывание

Основная статья: Монотонная функция

Пусть дана функция Тогда

• функция f называется возраста́ющей на M, если

.

• функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если

.

• функция f называется убыва́ющей на M, если

.

• функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

[править] Периодичность

Основная статья: Периодическая функция

Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция f называется апериоди́ческой.

[править] Чётность

Основная статья: Нечётные и чётные функции

• Функция называется нечётной, если справедливо равенство

• Функция f называется чётной, если справедливо равенство

[править] Экстремумы функции

Основная статья: Экстремум

Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда

• x₀ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

• x₀ называется точкой абсолютного минимума, если

Функциональной зависимостью называют зависимость, где каждому значению переменной Х соответствует единственное значение У.

Что такое функциональная зависимость

Вероятно, не все наши примеры, иллюстрирующие понятие функциональной зависимости, покажутся читателю одинаково удачными.

Пример с буквами может насторожить. В самом деле, трудно себе представить историка, который, замерив сверхточным транспортиром угол между перекладинками буквы И, уверенно заявляет, что текст написан 27 генваря 1733 года в шесть часов пополудни. Датировка в подобных случаях производится лишь с точностью до десятков лет.

Особой точности здесь быть не может хотя бы потому, что в одно и то же время разные писцы могли вырисовывать буквы по-разному. А это уже означает, что пример с буквой И выходит за рамки классического понятия функциональной зависимости, требующего строгого соответствия между переменными, ею связанными.

В этом смысле наиболее благополучен пример с фотопленкой. Свет упал на пленку, и та почернела. Чем точнее назначена световая доза, тем увереннее определяется степень почернения пленки.

Пример действительно неплох, строг математически. И тем не менее здесь мы тоже хотели бы призвать читателя к осторожности. В этом примере отчетливо ощущается то, что философы зовут причинно-следственной связью. Свет, количество которого в этом примере рассматривается как аргумент, есть причина почернения, степень которого рассматривается как функция.

Подобное характерно для большинства расхожих примеров функциональной зависимости: функция является количественным выражением некоторого следствия, причину которого количественно выражает аргумент. И тем не менее не следовало бы возводить такое представление в абсолют. Такая трактовка сужает понятие функции. Функциональная зависимость — не обязательно зависимость причинно-следственная.

В большом многоквартирном доме номеру каждой квартиры можно поставить в соответствие число людей, в ней проживающих. И это будет функциональная зависимость, полностью отвечающая ее каноническому определению. Хотя ни о каких причинах и следствиях здесь говорить не приходится. Номер квартиры никоим образом не определяет численность проживающей в ней семьи.

Повторим же еще раз, отметая излишние наслоения: функции — это законы, управляющие соответствиями переменных.

Такое (по существу, а не буквально) определение им дал в 1834 году русский математик Лобачевский, а тремя годами позже, независимо от него,— немецкий математик Дирихле.

7. Графики элементарных функций

Все графики

Линейная функция

Квадратная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Функция арифметический корень

Степенная функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Дробно-линейная функция

Таблица основных свойств элементарных функций ( везде n Z )

Функция	Область определения	Область значения	Четность	Монотонное возрастание	Монотонное убывание	Периодичность
y = kx +b	R	R	-	k > 0	k < 0	-
y=xa	− ;0 0;+	− ;0 0;+	нечетная	a < 0	a > 0	-
y = |x|	R	0;+	четная	0;+	− ;0	-
y = x2	R	0;+	четная	0;+	− ;0	-
y= x	0;+	0;+	-	0;+	-	-
y=ax	R	0;+	-	a > 1	0 < a < 1	-
y=logax	0;+	R	-	a > 1	0 < a < 1	-
y = sin x	R	−1;1	нечетная	−2 +2 n;2 +2 n	2 +2 n;23 +2 n	2
y = cos x	R	−1;1	четная	− +2 n;2 n	2 n; +2 n	2
y = tg x	x =2 + n	R	нечетная	−2 + n;2 + n	-
y = ctg x	x = n	R	нечетная	-	n; + n

8. Определение

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

[править] Обозначения

Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:

• ;

• .

[править] Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

[править] Свойства

[править] Арифметические свойства

• Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.

  • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

• Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности. Если и , то ; Если и , то аналогично . Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в 1696 (!) году французским математиком Гийомом Лопиталем (1661- 1704). Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Пример 1

Вычислить предел . Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

Пример 2

Вычислить предел . Решение. Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа , применяем правило Лопиталя.

Пример 3

Вычислить предел . Решение. Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . После простых преобразований, получаем

Пример 4

Найти предел . Решение. Используя правило Лопиталя, можно записать

Пример 5

Найти предел . Решение. Здесь мы встречаемся с неопределенностью типа . Обозначим . После логарифмирования получаем       Далее, по правилу Лопиталя, находим       Соответственно,

Пример 6

Найти предел . Решение. Предел содержит неопределенность типа . Пусть . Тогда       По правилу Лопиталя получаем       Следовательно,