Евклидово пространство

Править

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из двух сходных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство с введённой на нём нормой

где . Также назывется конечномерным гильбертовым пространством

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством над полем вещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

где и

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства размерности n = 1 (вещественная прямая) и размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

5. Введем понятие окрестности точки. Окрестностью точки a называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) - это окрестность точки 3. Посмотрим на график на рисунке ниже. Наиболее заметными точками области определения являются точки x, в которых возрастание сменяется убыванием (точки 3 и 5) или убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками максимума (x_max=3; x_max=5) и точками минимума (x_min=4). При построении графиков функций полезно сначала найти точки максимума и минимума. Например, в случае функции синуса точки вида π/2+2πn - это точки максимума, а точки вида -π/2+2πn - это точки минимума. В дальнейшем изложении будет показано, как искать точки максимума и минимума функции, не прибегая к рисованию графиков.Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Содержание  [показать]

[править] Определения

[править] Математический анализ

Основная статья: ε-окрестность

Пусть ε > 0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x₀ на числовой прямой (иногда говорят ε-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x₀ не более чем на ε, т.е. O_ε(x₀) = {x: | x − x₀ | < ε}.

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый ε-шар с центром в точке x₀.

В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке x₀ называют множество .

В метрическом пространстве (M,ρ) окрестностью с центром в точке y называют множество .

[править] Общая топология

• Пусть задано топологическое пространство , где X — произвольное множество, а — определённая на X топология. Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .

• Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .

[править] Замечания

В Викисловаре есть статья «окрестность»

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность V была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. ^[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.

• Прямо из определения следует, что V является окрестностью множества M тогда и только тогда, когда V есть окрестность любой точки .

[править] Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда ( − 1,2) является открытой окрестностью, а [ − 1,2] — замкнутой окрестностью точки 0.

[править] Вариации и обобщения

[править] Проколотая окрестность

Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если

где V — окрестность x.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью в смысле данного выше определения. Проще говоря, проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

6. Обозначения

Если задана функция f, которая определена на множестве X и принимает значения в множестве Y, то есть, функция f отображает множество X в Y, то

• этот факт коротко записывают в виде или .

• область определения функции f (множество X) обозначается D(f), или ;

• область значений функции f (множество Y) обозначается R(f) (E(f)), или ( ).

Наличие функциональной зависимости между элементом и элементом

• наиболее часто обозначается как

y = f(x),

или

;

• реже используется обозначение без скобок y = fx, или y = xf,

• а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: y = (f,x) или y = (x,f);

• так же существует и операторное обозначение y = x^f, которое можно встретить в общей алгебре.

• λx.y в лямбда-исчислении Чёрча.

[править] Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Если множество X представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение оказывается n-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной n-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

где .

В этом случае y = f(x) означает, что .