15. Оценка устойчивости сау по корням характеристического уравнения

Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. свободное движение, описывается решением однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

a₀ x₂⁽ⁿ⁾(t) + a₂ x₂ ^(n-1)(t) + …+ a_n-1 x₂ ⁽¹⁾(t) +a_n x₂ (t) = 0 (4)

. и заданными начальными условиями.

Общее решение ищется в виде x₂(t) = C e ^t

Дифференцируя это выражение n раз и подставляя в (4) , получим после сокращения на множитель C e ^t

a₀  ⁿ + a₁ ^n-1 + ... + a_n-1  + a_n = 0 (5)

Это уравнение называется характеристическим. Корни его _1,…,_n будут определять характер переходного процесса в системе. Если применить к уравнению (4) преобразование Лапласа, то получим

a₀ р ⁿ + a₁ р^n-1 + ... + a_n-1 р + a_n = 0 (6)

Уравнения (5) и (6) полностью совпадают, поэтому в качестве характеристического уравнения будем в дальнейшем использовать (6). Однако здесь буква р =  уже означает не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число. которое является решением (корнем) характеристического уравнения.

16. Критерий Гурвица

Хорошо было бы определять устойчивости систем, не решая характеристического уравнения, а используя некоторое условия, которые будем называть критериями устойчивости. Критерии устойчивости можно разделить на алгебраические и частотные.

Критерий устойчивости Гурвица позволяет по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней сделать суждение об устойчивости системы.

Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из коэффициентов характеристического уравнения системы: a₀ р ⁿ + a₁ р^n-1 + ... + a_n-1 р + a_n = 0 (1)

Из коэффициентов характеристического уравнения (1) строят сначала главный определитель Гурвица (2)

(2)

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_n в порядке возрастания индексов. Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получим определители Гурвица низшего порядка.

; ; ; … (3)

Номер определителя определяется номером коэффициента по диагонали. Сам критерий формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a₀, т.е. при a₀ > 0:

D₁ > 0; D₂ > 0; D₃ > 0; …; D_n > 0.

Уравнение 1-го порядка

  n = 1; a₀р+ a₁ = 0.

Для этого уравнения критерий Гурвица дает условие устойчивости: a₀ > 0; D₁ = a₁ > 0, т.е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

Уравнение 2-го порядка

n = 2; a₀ р² + a₁ р + a₀ = 0.

Для этого уравнения критерий Гурвица дает условие устойчивости: a₀ > 0; D₁ = a₁ > 0. Последний определитель, как отмечалось ,сводится к условию a₂ > 0. т.е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

Уравнение 3-го порядка

   n = 3; a₀ р³ + a₁ р² + a₂ р + a₃ = 0.

Для этого уравнения критерий Гурвица дает условие устойчивости: a₀ > 0; D₁ = a₁ > 0;

D₂ = a₁ a₂ – a₀ a₃ > 0. Третий определитель D₃ дает условие a₃ > 0. Условие D₂  0 при a₀ > 0; a₁ > 0; a₃ > 0 может выполняться только при a₂ > 0.

Следовательно, для уравнения 3-го порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами: a₁ a₂ – a₀ a₃ > 0.

. Уравнение 4-го порядка

a₀ р⁴ + a₁ р³ + a₂ р² + a₃ р + a₄ = 0

Для этого уравнения критерий Гурвица, кроме положительности всех коэффициентов, дает условие устойчивости: a₃₍a₁ a₂ – a₀ a₃ ) – a₄ a₁² > 0.

. Уравнение 5-го порядка

a₀ р⁵ + a₁ р⁴ + a₂ р³ + a₃ р² + a₄ р + a₅ = 0

Для уравнения 5-го порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

a₁ a₂ – a₀ a₃ > 0

(a₁ a₂ – a₀ a₃ )( a₃ a₄ – a₂ a₅ ) - ( a₁ a₄ – a₀ a₅ )² > 0.

Критерий Гурвица обычно применяют при n < 4.