3.Передаточные функции и структурные схемы систем автоматического управления.
Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(р) к преобразованному по Лапласу входу х(р) при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция определяется только внутренними свойствами системы, является функцией комплексного переменного и обозначается:
.
Если объект имеет несколько входов и выходов, то он характеризуется несколькими передаточными функциями, определить которые можно непосредственно, пользуясь определением (30).
Примеры различных объектов:
а – с одним входом и одним выходом; б – двумя входами и одним
выходом; в – двумя входами и двумя выходами
Как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику линейного объекта.
4. Методы преобразования структурных схем
Для простоты возьмем три последовательно соединенных звена
Найдем эквивалентную передаточную функцию этого соединения.
Для каждого звена в операторной форме можно записать:
X2 = X1 W1, X3 = X2 W2, X4 = X3 W3.
Выполним последовательную подстановку
X4 = X3 W3 = X2 W2 W3 = X1 W1 W2 W3.
По определению передаточная функция равна:
Wэ(р)
=
= W1(р)
W2(р)W3(р)
Обобщая
этот результат на n
звеньев,
получим: 
Wэ(р)
=
= W1
…
Wn
=
Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев
Параллельное соединение звеньев
Для простоты возьмем три параллельно соединенных звена
Для каждого звена в операторной форме можно записать:
X2 = X1W1; X3 = X1W2; X4 = X1 W3
откуда выходной сигнал
X5 = X2 + X3 + X4 = X1W1 + X1W2 + X1 W3 = X1 (W1 + W2 + W3 )
По определении. передаточная функция равна:
Wэ(р)
=
)
= W1(р)
+ W2(р)
+ W3(р)
Обобщая этот результат на n звеньев, получим:
.
Таким образом, передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.
Система с обратной связью
Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход, где сигнал обратной связи алгебраически суммируется с внешним сигналом. Структурная схема соединения с обратной связью изображена на рис. 1.
Если х2 = х1 + xос, то связь называется положительной, если же х2 = х1 xос, то – отрицательной.
Для вывода передаточной функции соединения с положительной обратной связью выходные сигналы для каждого звена в операторной форме записываются как:
5. 5.Правила преобразования структурных схем.
Реальные объекты обладают сложной структурой. Упрощение вывода передаточных функций сложных объектов в схемах достигается за счет преобразования их структурных схем к трем основным типам соединений: параллельное, последовательное и с обратной связью. Указанные преобразования выполняются с помощью так называемых правил преобразования структурных схем.
Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются.
U(p) X1(p) X2(p) Xk-1(p) Y(p)
……
X1(p)=W1(p)U(p);……. Y(p)=Wk(p)Xk-1(p).
Последовательно подставляем выходные сигналы, выражая их через входные:
поэтому:
(28)
Передаточные функции параллельно соединенных звеньев складываются.
|
|
|
|
U(p)
….………… Y(p)
поэтому:
(29)
Передаточная функция участка с обратной связью-
передаточная функция замкнутой системы.
Обозначим все сигналы:
U(p) e(p) Y (p) Y(p)
=W(p)e(p); Yос(p)
= Wос(p)Y(p);
e(p)=U(p) -Yoc(p) = U(p) -Wос(p) Y(p);
(-/+) исключим е(p), выразим выход че-
Yoc(p) рез вход: Y(p)=W(p)(U(p)-Wос(p)Y(p);
Y(p)(1± W(p)Wос(p))=W (p)U(p);
поэтому:
(30)
Знак плюс или минус зависит от того, отрицательная или положительная обратная связь имеется в замкнутой системе.
Перенос узла через блок.
|
|
|
|
U(p) U(p) Y(p)
….………… Yi(p)=W(p)U(p) …..
уз ел уз ел
Эти две схемы полностью эквивалентны, но в первой имеется множество блоков с одинаковой передаточной функцией, что неэкономно.
Перенос внешнего воздействия вперед и назад через блок.
|
|
|
|
U(p)
U(p) e(p) Y (p) Y(p)
Yoc(p)
Эти две структурные схемы полностью эквивалентны с точки зрения Wзс(p).
Перенос места включения обратной связи.
|
|
|
|
U(p) e(p) Y(p) U(p) Y(p)
Yoc(p)
Эти две структурные схемы полностью эквивалентны с точки зрения Wзс(p).
6. Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое определенным дифференциальным уравнением.
В звеньях позиционного, или статического, типа линейной зависимостью
x2 = Kx1
связаны выходная и входная величины в установившемся режиме. График имеет вид
Коэффициент пропорциональности К между выходной и входной величинами представляет собой коэффициент передачи звена.
Позиционные звенья делятся на группы:
1. Безинерционное звено
Описывается уравнением
x2 = Kx1
2. Апериодическое звено первого порядка
T
+
x2
=
K
x1
3. Апериодическое звено второго порядка
:T22
+ T1
+ x2
=
K
x1
4. Колебательное звено второго порядка
T2
+ 2T
+ x2
=
K
x1