Вопрос 3 Давление жидкости во вращающемся лопастном колесе. Уравнение л. Эйлера для работы лопастного колеса

Рабочее колесо является основным рабочим органом центро­бежной, осевой или диаметральной гидравлической машины. Проходящая через рабочее колесо жидкость приобретает в нем полное давление

где р _ст — статическое давление;

с — скорость потока на выходе из колеса

Колесо центробежного, нагнетателя чаще всего состоит из двух дисков, связанных друг с другом лопатками (или лопастя­ми): одного — сплошного и другого — кольцеобразного с отвер­стием, через которое жидкость поступает в каналы между лопат­ками.

Рассмотрим характер изменения давления жидкости в рабо­чем колесе, если по его наружной выходной поверхности уста­новлена не пропускающая жидкости обечайка.

Жидкость, заключенная в канале между лопатками, будет вращаться в этом случае вместе с колесом с угловой скоростью ω. Любая частица массой dm, вращаясь на расстоянии R от оси, получат центростремительное ускорение

а = ω² R ,

а приложенная к частице сила, направленная к центру враще­ния.

F = dm ^. ω^{2 .} R

Если выделить в колесе шириной b, имеющем z лопаток, эле­мент жидкости на расстоянии R от оси вращения, то масса этого элемента толщиной dR

Центростремительная сила, действующая на этот элемент:

dF = dm ω²R

Сила dF вызывается очевидно разно­стью давлений р и р+dp, действующих с двух сторон выделенного элемента, площадью f, т. е.

На полной длине межлопаточного канала общая разность давлений определится как интеграл элементарной разности в пре­делах от R₁ до R₂

Произведение Rω равно окружной скорости и (R₁ ω=u_t и R₂ ω = и₂), с учетом чего

Это выражение характеризует разность давлений, возни­кающих в результате действия центростремительных сил. Оче­видно, что под их влиянием жидкость при открытых кана­лах между лопатками, т. е. при противодавлении меньшем, чем р₂-р₁ будет двигаться от центра колеса к его перифе­рии.

При этом гидродинамичес­кая картина усложнится, так как изменение сечений в кана­лах между лопатками повле­чет за собой изменение давле­ний.

Из уравнения Д. Бернулли следует, что в диффузоре (а ка­налы между лопатками имеют обычно форму несколько искрив­ленного диффузора) наблюдается увеличение статического дав­ления, так как

Таким образом, общая разность статических давлений с двух сторон каналов рабочего колеса составит

Полученная разность статических давлений не есть, однако, полное давление, сообщаемое жидкости, протекающей через лопастное колесо, так как полное давление, развиваемое коле­сом центробежного нагнетателя, представляет собой разность полных давлений после и до колеса.

Обозначая через с абсолютную скорость жидкости (т. е. скорость жидкости относительно неподвижного наблюдателя), запишем выражение для полного давления при входе на лопатку колеса:

после колеса:

Полное давление, развиваемое колесом, равно разности пол­ных давлений, т. е.

Такова первая основная формула (1), работы колеса центробежного нагнетателя.

Формула Эйлера.

Уравнение (1) не освещает механизма передачи жидкости, протекающей через рабочее колесо, мощ­ности от вала машины. Более наглядное представление об этом может быть получено на основе теоремы количества движения (теоремы импульсов).

В соответствии с этой теоремой изменение количества дви­жения секундной массы при переходе от одного сечения к дру­гому равняется сумме внешних сил, приложенных к потоку меж­ду этими сечениями.

Если обозначить секундную массу , абсолютную

скорость в начальном сечении c₁ и в конечном с₂, то на основа­нии теоремы импульсов сила, приложенная к массе между сече­ниями 1 и 2:

Изменение момента количества движения секундной массы при переходе от одного сечения к другому равняется моменту внешних сил (моменту на валу), приложенных к потоку между этими сечениями.

Уравнение момента внешних сил имеет следующий вид:

(2)

где l₂ и l₁ — плечи скоростей с₂ и с₁ относительно оси вращения.

Скорости с₁ и с₂ можно разложить на слагающие: радиаль­ную (проекция с на направление радиуса) и тангенциальную (проекция с на направление окружной скорости и). Радиальная скорость с_т = с sin а, а тангенциальная с_u = с cos а .