17. Показательное (экспоненциальное) распределение

Показательным называют распределение непрерывной случайной величины Х которое описывается следующей дифференциальной функцией

Экспоненциальное распределение для непрерывных случайных величин является аналогом распределения Пуассона для дискретных случайных величин и имеет следующий вид.

вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)

Следует отметить, что время безотказной работы удовлетворяется именно показательному закону, а поэтому это понятие часто используется в понятии надежности.

18. Мат. Статистика.

Пусть для изучения колич. признака Х из ген. совок-ти извлечена выборка х₁, х₂…х_к объёма n. Наблюдавшиеся значения x_i признака х называют вариантами, а послед-ть вариантов записанных в возраст. порядке – вариац. рядом. Стат. распред-ем выборки называют перечень вариантов x_i вариац. ряда и соот-х им частот n_i (сумма всех частот равна объёму выборки n) или относит. частот Wi (сумма всех относит. частот = 1). Стат. распр-е выборки можно задать также в виде посл-ти интервалов и соот-х им частот (в кач-ве частоты интервала принимают сумму частот вариантов, попавших в этот интервал). Стат. оценкой  неизвестного параметра  теор. распр-я назыв. функцию f(x₁,x₂…x_n) от наблюдаемых СВ x₁,x₂…x_n. Несмещён. назыв. точечную оценку, мат. ожидание кот. = оцениваемому параметру при любом объёме выборки. Смещ. назыв-ют точечную оценку, мат. ожидание кот. не = оцениваемому параметру. Несмещён. оценкой генер. средн (мат. ож.) служит выборочная средняя

где x_i - варианта выборки, n_i – частота варианты x_i .Объём выборки:

Замечание 1: Если первонач. варианты x_i большие числа, то для упрощ. расчёта можно вычесть из кажд. варианты одно и то же число С, т.е. перейти к условн. вариантам u_i=x_i-C. Тогда

Замечание 2:

Замечание 3: Если первонач. варианты явл. десятич. дробями с R десятич. знаками после запятой, то умножают первонач. варианты на постоян. число С, т.е. переходят к усл. вариантам u_i=Cx_i. При этом дисперсия увелич. в С² раз: D_B(x)=D_B(u)/C².

19. Эмпирическая ф-я распределения.

Пусть из-но статистическое распр-е частот кол-ного признака Х.

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

n_x – число наблюдений при кот. наблюдалось значение признака меньше х (xR). n – общее число наблюдений.

Очевидно, что отн. частота события Х<x равно n_x/n. Если меняется х, то очевидно меняется и относительная частота. Эмпирической ф. распр-я назыв. ф-ю F*(x) опр. для каждого действ-ного Х<x. Из опр. следует F*(x)= n_x/n. В отличии от эмпирич. ф-ии распр-я, функцию распр-я F(x) генеральной совокупности назыв. теор. функцией распр-я. Различие между F* и F сост. в том, что F(x) опр. вер-ть события, а F*(x) опр. относит. частоту события. Из т. Бернулли сл., что при больших n F и F* мало отлич. Отсюда сл., что ф-ю F*(x) можно исп. для приближённого представления теор. ф-ии распр-я. Св-ва эмпир. ф-ии распр.: 1) 0<F*(x)<1 2) F*(x) . 3) F*(x)=0, x<_xнаим.; F*(x)=1, x>x_наиб.

20.

Различают точечные и интервальные статистические оценки. Точечная – оценка, определяемая одним числом. При малом объеме точечн. оценка неизвестного параметрара может значительно отличатся от оцениваемого параметра, что является грубой ошибкой. При малых объемах, производится интервальная оценка. Интервальная – оценка, определяемая 2 числами – концами интеграла. Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценки. Пусть найдено по выборочным данным стат. Q+ служит оценкой для теор. Оценки параметра Q. Q+ тем точнее приближает Q, чем меньше Q+ - Q. Т.о. если б>0 и Q – Q+<б, то чем меньше б, тем лучше Q+ следовательно число б характерезует точность оценки. Статистические методы не могут утверждать, что Q=Q+, а лишь с некоторой вероятностью P(Q+ - Q<б) можно говорить лишь о вероятности выполнения такого неравенства. Доверительной вероятностью оценки Q+ наз-ся P() с которой осуществляется неравенство P(Q+ - Q<б), т.е. P(Q+ - Q<б)= . Обычно  выбирают близким к 1-це.