Индивидуальные задания Вариант №9

По курсу «Математические методы компьютерного моделирования физических процессов»

Для студентов КТАС, МИППС

Задача №1

С помощью теории размерностей получить формулу для скорости звука в газе (P, ) и в упругой среде (Е, ). Пользуясь этими формулами оценить скорость звука в воздухе и в стали.

Задача№2

Под каким углом к горизонту следует бросить камень массой 200 г со скоростью 20 м/с, чтобы дальность полета была наибольшей, если сила сопротивления воздуха равна , (А=0.1 Нс/м; В=2·10^-4 Нс²/м²)? Построить оптимальную траекторию и две близкие к ней. Сравните со случаем, когда сопротивление воздуха не учитывается. Указание: использовать функцию fmin.

Задача№3

Привести уравнение движения спутника планеты к безразмерному виду. Составить функцию, которая бы выводила анимацию спутника его траекторию и текущее время движения . Предусмотрите вызов диалога для выхода из функции по нажатию клавиши мыши (questdlg).

Проверьте экспериментально третий закон Кеплера.

Задача№4

При наезде на неровность дороги колесо мотоцикла подскакивает, сжимая пружинную рессору на 3 см. Что будет дальше с этим отклонением в двух случаях: 1) есть только пружина такой жесткости, что при нагрузке 10 кг, она сжимается на 2см; 2)кроме пружины, есть масляный демпфер (телескопическая подвеска, в которой изменение длины пружины сопровождается перетеканием жидкости из одной емкости в другую), причем сила вязкого трения равна . Нарисуйте графики смещения и скорости и фазовые траектории. Масса колеса 20 кг, а=10² кг·с/м, b=10⁵ кг/м

Задача№5

Одна из моделей, описывающих отношения между популяциями «хищник-жертва», , имеет следующий вид:

где: x – численность жертв; y – численность хищников; A – прирост жертв в отсутствии хищников; a – убыль жертв, поедаемых хищниками; с – учитывает внутривидовую конкуренцию B – убыль хищников в отсутствии питания (жертв); b – прирост хищников при наличии питания.

Построить зависимости от времени численностей популяций и фазовую траекторию системы для различных начальных значений. Каков характер динамики популяций? Зависит ли дальнейший рост численности жертв от начальной численности хищников? Как изменится динамика популяций при отсутствии внутривидовой конкуренции.

Задача№6

Найдите напряженность магнитного поля плоского витка радиусом R с силой тока I=1A в центре и на расстоянии a от центра в плоскости витка. Постройте график H(a) .

Задача№7

В световоде типа «Градан» луч света искривляется и возвращается обратно к оси, благодаря тому, что показатель преломления убывает от оси к краям по закону , где =1.5, g=0.5 мм^-1 Пусть луч света входит в торец световода под углом . На каком расстоянии от оси будет находиться точка внутреннего отражения луча? Как зависит это расстояние от угла?

Указание: Согласно принципу Ферма, луч света выбирает путь, для которого время распространения между двумя точками минимально. Если показатель преломления , то данный принцип приводит к следующему дифференциальному уравнению: , позволяющему определить траекторию луча.