5. Асимптоты графика функции

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

Термин асимптота введен древнегреческим ученым Аполлонием Пергским при изучении гиперболы и происходит от греческого слова «асимтотос», означающего «несовпадающий». Хотя кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

5.1. Вертикальные асимптоты

Вертикальной асимптотой графика функции называется прямая x = а, если хотя бы при одном из условий x→ а – 0 или x → а + 0.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах её области определения, если концы не равны .

График непрерывной на всей числовой прямой функции вертикальных асимптот не имеет.

5.2. Горизонтальные асимптоты

Если , то – горизонтальная асимптота кривой (правая при , левая при и двусторонняя, если пределы при равны).

5.3. Наклонные асимптоты

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → ∞ для графика функции тогда и только тогда, когда , .

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения наклонных асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая наклонных асимптот не имеет.

Замечание 2. Горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k= 0. Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

При отыскании асимптот, как правило, рассматривают лишь два случая: вертикальные и наклонные.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞  и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

1. 6. Общая схема исследования функций и построения графиков

Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности:

1. Найти область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

3. Найти асимптоты графика функции.

4. Найти интервалы монотонности функции, точки её экстремума.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

6. Найти (если это можно) точки пересечения графика функции с осями координат.

7. Составить сводную таблицу исследования.

8. На основании проведенного исследования построить график функции.

Эту схему следует рассматривать как примерную. Например, пункты 1, 6 используются не всегда. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно построить дополнительные точки, выявить другие особенности функции (периодичность). Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции. Сводную таблицу также удобно заполнять по ходу исследования, но можно обойтись и без неё.