1. Признаки монотонности функции

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции). 1) Если дифференцируемая функция y = f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке: f '(x) ≥ 0.

2) Если функция y = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке (f ' (x)≥ 0 для a < x <b), то y = f(x) возрастает на [a, b].

►Докажем первую часть теоремы.

Итак, пусть функция y = f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δ x> 0, то x < x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x) < f(x+Δx), то есть f(x+Δx) – f(x) > 0. Но тогда и .

Аналогично, если Δx < 0, то x > x+Δx и значит f(x+Δx) – f(x) < 0, а .

Переходя в этом равенстве к пределу при Δx → 0, получим , то есть f '(x)≥0.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x) > 0 при всех x (a,b). Рассмотрим два любых значения x₁ и x₂ таких, что x₁ < x₂. Нужно доказать, что f(x₁) < f(x₂). По теореме Лагранжа существует такое число c (x₁, x₂), что . По условию f'(x) > 0, x₁ – x₂ > 0 , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция. ◄

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция y = f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y = f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tgα ≥ 0, а значит f '(x) ≥ 0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x) > 0 – для возрастания или f '(x) < 0 – для убывания.

Пример. Рассмотрим зависимость между эластичностью спроса и доходом от продажи товара.

Совокупный доход R, получаемый фирмой, равен цене товара P, умноженной на количество реализованного товара Q: . Если цена товара есть функция от количества, то . Производная показывает возрастание или убывание дохода при увеличении количества продаваемого товара. Рассмотрим частный случай функции , а именно . Тогда

.

Функция эластичности спроса в этом случае имеет вид: .

Поэтому спрос эластичен (), когда , и неэластичен (), когда .

Имеем . На интервале (0; 3) , т.е. при эластичном спросе доход растет при снижении цен и продаже дополнительного товара, а на интервале (3; 6) , т.е при неэластичном спросе при увеличении продажи товара доход уменьшается.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%.