5.1. Дискретные экспоненциальные функции (дэф)

Дискретные экспоненциальные функции являются цифровыми аналогами гармонических колебаний. Так как в основе теории сигналов лежит спектральный анализ, основанный на разложении в ряды по системам гармонических функций, то роль этих преобразований трудно переоценить. Гармонические колебания являются базовыми для описания движущихся тел. Как уже принято в технике, в трехмерной системе геометрических координат движения материальной точки по любой из осей , или , (три степени свободы), а также вращения ее по любой из координат (еще дополнительно три степени свободы). Проекция вращения по любой из осей есть гармоническое колебание, т. е. или синус, или косинус. Возможно аналогичное описание на комплексной плоскости проиллюстрированное на рис. 2.3. Как видно из рис. 2.3., вектор имеет две декартовых координаты (действительная составляющая) и (мнимая составляющая).

Рис. 5.3. Комплексная форма представления колебания

Возможна и вторая форма описания, именуемая в классической математике как система полярных координат, когда состояние вектора оценивается совокупностью двух функций: амплитуды и полной фазы . Между двумя системами координат существует следующие взаимосвязи:

; .

(5.4)

Существует и пара обратных преобразований:

; .

(5.5)

Выражения (5.4) и (5.5) являются классикой гармонического анализа. Для перехода к ЦОС необходимо представить, что вектор по рис.5.4 движется скачками с заданным шагом по фазе в положительном направлении. Классическим примером такого движения могут служить электромеханические часы, в которых секундная стрелка совершает 60 скачков за один полный оборот. (Кстати, теперь уже никто не может сказать, почему в минуте 60 секунд, вероятно, это утерянные знания о 60-ричной системе исчисления, существующей у наших далеких предков – гипербореев).

Рис. 5.4. Дискретная экспоненциальная функция

В полярных координатах скачкообразные перемещения вектора представляются в виде ДЭФ:

(5.6)

Здесь значение является минимальным скачком по фазе и определяет точность вычислений. Амплитуда вектора нормируется (т. е. равна 1) и «выплывает» только в ходе спектральных преобразований.

Величина обычно связывается с номером гармоники, а – с аргументом функции.

Предположим, номер функции равен 1. Тогда при изменении от 0 до совершается один полный оборот (см.рис.5.4). Если принять , то скачки фазы при изменении аргумента на 1 изменяются на . В результате при изменении от 0 до вектор ДЭФ совершает два полных оборота. В дальнейшем, до (или ) при увеличении вектор совершает оборотов.

Представим теперь, что . Тогда при изменении на один шаг вектор изменяет фазу на величину , что эквивалентно его «недокручиванию» на величину . При следующем шаге по аргументу вектор «недокручивает» на величину и т.д. В результате получается, что вектор вращается в отрицательном направлении с основной частотой . Если принять, что , то отрицательное вращение вектора соответствует второй гармонике и т. д. таким образом, до значения ( – четное) или (N – нечетное).

Отметим, что в этом состоит радикальное отличие дискретное представление колебаний от непрерывного. Переход в дискретную область существенно влияет как на конечный результат, так и на способы его интерпретации.

Рассмотрим матричное представление ДЭФ. Обратимся к выражению (5.6) и представим его в виде:

,

(5.7)

где – дискретный шаг по фазе.

Описание ДЭФ сводится к одному аргументу . Принято считать, что эквивалентно номеру гармоники. Матрица ДЭФ представляет набор целочисленных аргументов , являющихся произведениями и .

Приведем примеры матриц ДЭФ для двух вариантов , четного и нечетного. Рассмотрим четное , например . Матрица значений напоминает таблицу умножения (см.рис.5.5).

Рис. 5.5. Матрица ДЭФ при

Матрица а) представляет перечисление фаз в их абсолютном выражении. В частности, фаза последней функции (правый нижний угол) соответствует шести полным оборотам (и еще немного).

Матрица б) соответствует формуле приведения, согласно которой из фазовой координаты вычитается число, удаляющее кратное число оборотов вектора. В приведенном нами примере, удаляются цифры, кратные 8. Остаток должен лежать в пределах от 0 до . В частности, в элементе, стоящем на пересечении пятого столбца и седьмой строки (это число 20), при получается .

Приведение по модулю является базовым преобразованием в ЦОС.

Обратим внимание на вторую матрицу б). Она приведена по модулю . При этом остатки от приведения лежат в пределах заданного множества . Приведение сводится к тому, что остаток находится в пределах от 0 до .

Стоит отметить, что нами принято четное число . При этом получается семейство комплексно сопряженных функций, симметричных относительно центра сопряжения. В варианте центром сопряжения является функция с номером . Если выделить эту функцию и изменять значения аргумента в пределах от 0 до , получаем после приведения, т. е. в остатках, матрицу типа б).

Приведение по модулю является фундаментальной операцией, приводящей к оригинальным последствиям. Рассмотрим матрицу ДЭФ в полном и приведенном варианте при , т. е. нечетном.

Рис. 5.6. Матрица ДЭФ при

В итоге после приведения по модулю получается два семейства комплексно сопряженных функций; количество таких пар равно , а чисто действительная функция одна – нулевая. Это свойство обобщается на любое , причем везде есть разница между четными и нечетными значениями.

Обозначим свойства функций ДЭФ. Они значительно отличаются от свойств обычных гармонических функций при их разложении в ряд Фурье. Кроме уже отмеченного свойства симметричности, при котором существуют семейство независимых функций снижается вдвое, существуют общие и специфические свойства.

Общие свойства:

1. Свойство нулевого среднего: при любом и постоянная составляющая функции равна 0:

.

(5.8)

Это свойство идентично гармоническому ряду, но в непрерывной области. В последнем случае вместо суммы присутствует интеграл. При сумма равна , что может быть воспринято как нормирующий множитель.

2. Ортогональность. Это очень важное свойство для любой системы разложения в ряд. В данной интерпретации свойство ортогональности принимает вид:

.

(5.9)

Другими словами, разложенные функции при усреднении на интервале из точек равны 0.

3. Симметричность: замена значений аргумента образует ту же функцию:

.

(5.10)

4. Полнота: при заданном система из функций полная, т. е. любая другая функция представляет одну из имеющихся. Предположим, номер функции равен . Тогда эта функция идентична ДЭФ с номером 1.

5. Замкнутость. Является следствием полноты и сводится к следующему:

; .

(5.11)

Выражение (5.11) означает следующее: процедура приводит к функции из замкнутой области , причем результирующая функция порядка С образуется как сумма номеров функций по модулю . Так, при произведение функций с номерами 7 и 4 даст функцию с номером 2, что легко проверить по матрице (рис.5.13).

Упомянутые процедуры могут продлеваться на любое целочисленное значение . При числовой обработке сигналов практические значения выбираются в других областях: 256, 512, 1024, 2056 и т. д. (все это степени двойки).