- •Оглавление
- •Глава 1 интегрирование функций комплексного переменного
- •1.1. Основные понятия. Формы записи. Геометрическая интерпретация. Свойства
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Теорема Морера
- •Теорема Коши для −связной области
- •Доказательство
- •Следствия теоремы Коши для −связной области
- •Интегральная формула Коши
- •Следствие интегральной формулы Коши
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы (по главе 1)
- •Глава 2 Ряды в комплексной области.
- •2.1. Числовые ряды. Основные понятия
- •2.2. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Свойства. Степенные ряды с комплексными членами
- •Свойства равномерно сходящихся рядов
- •Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости)
- •Теорема Абеля
- •2.3. Ряды Тейлора Теорема
- •Основные разложения
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы (по главе 2)
- •Библиографический список
- •Часть II
Глава 2 Ряды в комплексной области.
2.1. Числовые ряды. Основные понятия
Ряд вида
=, (20)
составленный из комплексных чисел , является числовым рядом в комплексной области.
ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм:
=
=.
ряд сходится тогда, когда сходится каждый из рядов и ; (21)
при этом число − является суммой ряда.
Если не существует, то ряд называется расходящимся.
Исследования сходимости ряда (20) сводятся к исследованию сходимости двух числовых рядов (21) с действительными членами. Следовательно, справедливы основные положения из теории рядов с действительными членами.
Ряд (20) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов:
. (22)
Из абсолютной сходимости ряда (20) следует его сходимость. сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемножать.
Задача 14. Исследовать на сходимость числовой ряд .
Решение
.
Используя формулу Эйлера , преобразуют
.
Тогда =.
Исследование сходимости исходного ряда сводится к исследованию сходимости двух числовых рядов.
Ряды и с действительными членами сходятся абсолютно. Следовательно, исходный ряд сходится также абсолютно.
Задача 15. Исследовать на абсолютную сходимость числовой ряд
.
Решение
Составляют ряд из модулей его членов , применяют признак Даламбера:
=.
Следовательно, ряд не сходится абсолютно.
Задача 16. Исследовать на абсолютную сходимость числовой ряд
.
Решение
Составляют ряд из модулей его членов , применяют радикальный признак Коши:
===
.
Следовательно, ряд сходится абсолютно.
Задача 17. Исследовать на сходимость числовой ряд .
Решение
Составляют ряд из модулей его членов .
преобразуют .
Ряд эквивалентен ряду который расходится при . следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Необходимо дальнейшее исследование на условную сходимость.
Преобразуют ряд в алгебраическую форму:
.
Сходимость данного ряда определяется сходимостью двух рядов: и .
Для этих рядов выполняются оба условия признака Лейбница:
1);
2) .
Каждый из рядов и по признаку Лейбница сходится условно, поэтому и исходный ряд сходится условно.
2.2. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Свойства. Степенные ряды с комплексными членами
функциональным рядом в комплексной области называется ряд
, (23)
членами которого являются функции комплексного переменного, определенные на некотором множестве комплексной плоскости.
Функциональный ряд называется сходящимся на множестве , если на этом множестве существует предел последовательности его частичных сумм:
,
или для .
Значение называется суммой ряда.
Множество точек , для которых сходится ряд , называется областью сходимости функционального ряда.
Ряд называется равномерно сходящимся на множестве , если на этом множестве равномерно сходится последовательность его частичных сумм , т.е.
для .