- •Оглавление
- •Глава 1 интегрирование функций комплексного переменного
- •1.1. Основные понятия. Формы записи. Геометрическая интерпретация. Свойства
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Теорема Морера
- •Теорема Коши для −связной области
- •Доказательство
- •Следствия теоремы Коши для −связной области
- •Интегральная формула Коши
- •Следствие интегральной формулы Коши
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы (по главе 1)
- •Глава 2 Ряды в комплексной области.
- •2.1. Числовые ряды. Основные понятия
- •2.2. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Свойства. Степенные ряды с комплексными членами
- •Свойства равномерно сходящихся рядов
- •Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости)
- •Теорема Абеля
- •2.3. Ряды Тейлора Теорема
- •Основные разложения
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы (по главе 2)
- •Библиографический список
- •Часть II
Следствие интегральной формулы Коши
Если функция − аналитическая функция в замкнутой области и имеет производные всех порядков, то данные производные можно получить по следующей формуле Коши:
(19)
Используется для вычисления контурных интегралов вида
.
Направление интегрирования в формулах (18)–(19) считается положительным, − любая внутренняя точка области , ограниченная контуром .
Задача 10. Вычислить интеграл , где контур задан следующими вариантами:
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение
а) − особые точки функции =.
Все точки лежат вне контура (см. рис. 9). Следовательно, внутри области, ограниченной этим контуром, подынтегральная функция является аналитической.
По теореме Коши для односвязной области (16)
= 0.
б) Внутрь контура попадает одна точка (см. рис. 10).
Используют интегральную формулу Коши. Преобразуют подынтегральное выражение. функция является аналитической в круге .
по формуле (18) для функции и точки
в) Внутрь контура попадает одна точка (см. рис. 11). Используют интегральную формулу Коши. Преобразуют подынтегральное выражение.
Функция, выделенная в числителе, является аналитической в рассматриваемой области.
Тогда по формуле (18) получают
г) Внутрь контура попадают две точки и (см. рис. 12). особые точки ограничивают окружностями достаточно малых радиусов − и с центрами в этих точках так, чтобы они не пересекались и целиком лежали внутри контура .
В трехсвязной области, ограниченной контурами , и подынтегральная функция является аналитической.
По теореме Коши для -связной области получают
=
Задача 11. Вычислить интеграл.
Решение
Для функции точка − особая точка. Она является кратной и попадает внутрь контура . Используют следствие интегральной формулы Коши (для , ). Функция − аналитическая в области .
Преобразуют подынтегральное выражение по формуле (19):
.
Задача 12. Вычислить интеграл.
Решение
функция имеет две особые точки и , лежащие внутри круга . Дробь раскладывают на простейшие дроби: .
По известному правилу находят
По формулам (18) - (19) окончательно получают
=
Задача 13. Вычислить интеграл .
Решение
В контур попадает только одна особая точка .
Преобразуют подынтегральное выражение
По формуле (18) окончательно получают
.
1.4. Задачи для самостоятельной работы (по главе 1)
1. Вычислить следующие интегралы:
, ,
где L − соединяет точки :
а) по прямой;
б) по параболе;
в) по ломаной, состоящей из отрезков параллельных координатным осям.
Сравнить полученные результаты.
2. Вычислить
а) по прямой L, соединяющей точки ;
б) по прямой L, соединяющей точки ;
в) по параболе, соединяющей точки .
3. Вычислить
а) по радиус-вектору точки ;
б) по верхней полуокружности из точки ;
в) по окружности с центром в точке и радиусом ;
г) по дуге параболы , соединяющей точки ;
д) по дуге гиперболы, соединяющей точки ;
е) по прямой, соединяющей точки .
4. Вычислить , L: , нижняя часть.
5. Вычислить , L: (обход против часовой стрелки).
6. Вычислить по прямой L, соединяющей точки .
7. Вычислить , L: (обход против часовой стрелки).
8. Вычислить , L: .
9. Вычислить , L: ломаная, состоящая из отрезков, параллельных координатным осям через точки .
10. по прямой L, соединяющей точки .
Изменится ли значение интеграла, если изменить кривую через эти точки?
11. Вычислить по прямой L, соединяющей точки .
12. Вычислить , L: , ().
13. по прямой L, соединяющей точки .
14. по прямой L, соединяющей точки .
15. Вычислить , где L:
а) , нижняя часть (обход против часовой стрелки);
б) , правая часть (обход против часовой стрелки);
в) отрезок прямой, соединяющей точки .
16. Вычислить:
а) ; г) ;
б) ; д) ,
в) ; е) .
17. Вычислить вдоль любых кривых, где функция непрерывна. Сравнить полученные результаты.
18. Вычислить:
а) ; б) .
19. Вычислить:
а) ; б) .
20. Вычислить по прямой L, соединяющей точки .
21. Вычислить , L: , первая четверть.
22. Вычислить .
23. Вычислить
а) по прямой, соединяющей точки ;
б) по ломаной с вершинами в точках .
Вычислить следующие интегралы:
24. , где − окружность:
а) ; б) ; в) .
25. , где − окружность .
26. , где − окружность:
а) ; б) ; в) .
27. , где − окружность:
а) ; б) ; в) .
28. , где − окружность:
а) ; б) .
29. , где − окружность .
30. , где − окружность .
31. , где − окружность .
32. , где − эллипс
33. , где − окружность .
34. , где − окружность .
35. , где − окружность .
36. , где − окружность .
37. , где − окружность:
а) ; б) ; в) .
38. .
Провести исследование для различных контуров интегрирования:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Какие из этих интегралов равны нулю?
39. Пусть известно, что . следует ли тогда, что является аналитической в области , ограниченной контуром С?