Статистическая обработка случайной велечины у(Среднегодовое превышение нормы)

ПУНКТ 1 Интервальный и дискретный статистические ряды распределения частот и относительных частот.

Статистическая обработка результатов эксперимента в случае выборки большого объема(n> 50) начинается с группировки выборочных значений, то есть с разбиения наблюдаемых значений Случайной Величины на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попаданий значений Случайной Величины в частичные интервалы.

Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:

,

где У_max , У_min –соответственно максимальное и минимальное выборочные значения СВ У(Среднегодовое превышение нормы), n—объем выборки.

Для СВ У(Среднегодовое превышение нормы) n=100, У_max =8, У_min=2. Следовательно,

а₁= У_min--=2--=2—0.4=1.6

а₂= а₁+h=1.6+0.8=2.4

Составим таблицу (таб.5) Таблица.5

Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки

интервалы (аi;ai+1)	середины интервалов	подсчет частот	частоты ni	относит. частоты Wi=ni/n	накопительные относительные частоты
1	2	3	4	5	6
(1.6;2.4]	2		1	0.01	0.01
(2.4;3.2]	2.8		9	0.09	0.1
(3.2;4]	3.6		22	0.22	0.32
(4;4.8]	4.4		0	0	0.32
(4.8;5.6]	5.2		33	0.33	0.65
(5.6;6.4]	6		17	0.17	0.82
(6.4;7.2]	6.8		14	0.14	0.96
(7.2;8]	7.6		4	0.04	1.00

ПУНКТ 2 Гистограмма и полигон относительных частот

Первый и пятый столбцы таблицы 5 составляют интервальный статистический ряд относительных частот, графическое изображение которого—гистограмма относительных частот (ступенчатая фигура на рис.4)

Дискретный статистический ряд относительных частот задается вторым и пятыми столбцами, графическое изображение, которого—полигон относительных частот (изображен на рис.4 ломаной линией)

Рис.4—гистограмма и полигон относительных частот

ПУНКТ 3 Эмпирическая функция распределения и ее график

Эмпирическая функция распределения F^*(у) выборки служит для оценки функции распределения F(у) генеральной совокупности.

Функция F^*(у) определяет для каждого значения У(среднегодовое превышение нормы) относительную частоту событий Х<х:

F^*(у)=,

где n_у-число выборочных значений, меньших у; n-объем выборки.

Шестой столбец таблицы 5 содержит накопленные частоты, то есть значения эмпирической функции распределения F^*(у), они относятся к верхней границе частного интервала.

Эмпирическая функция распределения F^*(у) имеет вид:

F^*(у)=

График эмпирической функции распределения F^*(у) изображен на рис.5

рис.5—График эмпирической функции распределения

ПУНКТ 4 Числовые характеристики выборки

Для вычисления числовых характеристик выборки (у, Д_у, S_у^*, Э_у^*) удобно использовать таблицу.6,где в первых двух столбцах приведены сгруппированные исходные данные, а остальные столбцы служат для вычисления числовых характеристик

Таблица 6

Таблица для расчета числовых характеристик выборки

середин интервалов уi	Частоты ni	уi—у	(уi—у )ni	(уi—у )2ni	(уi—у )3ni	(уi—у )4ni
1	2	3	4	5	6	7
2	1	-3.056	-3.056	9.339	-28.540	87.219
2.8	9	-2.256	-20.304	45.805	-103.338	233.130
3.6	22	-1.456	-32.032	46.639	-67.905	98.870
4.4	0	-0.656	0	0	0	0
5.2	33	0.144	4.752	0.062	0.098	0.014
6	17	0.944	16.048	15.149	14.300	13.500
6.8	14	1.744	24.416	42.581	74.262	129.513
7.6	4	2.544	10.176	25.887	65.858	167.543
Σ	100	-	0	185.462	45.265	729.789

Выборочное среднее вычисляется по формуле:

,

где m—число интервалов, х_i—середины интервалов

Выборочное среднее дает усредненное значение среднегодового превышения нормы для данной выборки.

Выборочную дисперсию для сгруппированных данных вычисляют по формуле:

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле:

.

Для СВ У(среднегодовое превышение нормы) S_у=

Оно показывает разброс выборочных значений у_i, относительно выборочного среднего у=7.988

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам:

Используя суммы из последних строк шестого и седьмого столбцов таблицы 5,

получим:

0 говорит о несимметричности полигона (гистограммы) относительно выборочного среднего . Отрицательный знак выборочного коэффициента асимметрии свидетельствует о левосторонней асимметрии данного распределения

ПУНКТ 5 Предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины У(среднегодовое превышение нормы)

Мы предварительно предполагаем, что СВ У(среднегодовое превышение нормы) распределена нормально по совокупности следующих признаков.

Вид полигона и гистограммы относительных частот напоминает нормальную кривую (кривую Гаусса)

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса

отличаются от значений асимметрии и эксцесса для нормального распределения (которые равны нулю) не более чем на утроенные средние квадратические ошибки

их определения.

,

,

где

Можно предположить, что стаж работы (СВ У) изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе.

Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что распределение СВ У(среднегодовое превышение нормы) является нормальным

ПУНКТ 6 Точечные оценки параметров нормального закона распределения

Функция плотности нормального распределения имеет вид

В качестве неизвестных параметров а и σ возьмем их точечные оценки и S_у=соответственно. Тогда дифференциальная f(у) и интегральная функции F(у) предполагаемого нормального закона распределения примут вид:

;

ПУНКТ 7 Гипотеза о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения

Гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по предлагаемому нормальному закону, назовем нулевой

(Н_о:У N(a,σ)), тогда Н_а:У N(a, σ)

Проверяем ее с помощью критерии согласия χ² Пирсона.

Согласно критерию Пирсона сравниваются эмпирические n_i(наблюдаемые) и теоретические np_i(вычисленные в предложении нормального распределения)

частоты. В качестве критерия проверка нулевой гипотезы принимается случайная величина.

По таблице критических точек распределения χ² по заданному

уровню значимости а и числу степеней свободы v=S-r-1 находим критическое

значение χ²_крит(а,v)

Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то вероятности p_i рассчитываются с помощи функции Лапласа Ф(х):

где у=5.056, S_у=1.36

Вычисления сведем в таблицу.7 Количество интервалов S=6.

Так как предполагается нормальное распределение имеющее два параметра(математическое ожидание а и среднее квадратические отклонение σ), поэтому r=2, тогда число степеней свободы v=S-r-1=6-2-1=3

Таблица 7

Расчетная таблица для вычисления

интервалы (хi;хi+1)	частоты эмпирические ni	Вероятности рi	Теоретические частоты npi
(-∞;2.4]	1	0.02559	2.56	0.9506
(2.4;3.2]	9	0.06141	6.14	0.0596
(3.2;4]	22	0.13365	13.37	5.5704
(4;4.8]	0	0.204	20.4	20.4
(4.8;5.6]	33	0.23077	23.08	4.2637
(5.6;6.4]	17	0.18349	18.35	0.1038
(6.4;7.2]	14	0.10404	10.40	1.2461
(7.2;+ ∞]	4	0.05705	5.70	0.5070
Σ	100	1.00	100	33.098

Значение =33.098

В таблицах критических точек распределения по уровню значимости а=0.05 и числу степеней свободы v=3 найдем критическое значение χ²_крит(0.05,3) =7.815

Так как условие < χ²_крит не выполняется будем считать, что гипотеза не согласуется с экспериментальными данными и ее надо отвергнуть