- •Наблюдаемые явления (результат испытаний)
- •Алгебра событий
- •Диаграммы Эйлера-Венна
- •Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула вероятности гипотез
- •Формула Бернулли
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Случайные одномерные величины
- •Распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •2.Распределение Пуассона
- •Основные формулы комбинаторики, используемые для определения вероятностей алгебры событий
- •Функция (интегральный закон) распределения с.В.
- •Плотность вероятности (дифференциальный закон) распределения непрерывной с.В.
- •Числовые характеристики распределения с.В.
- •Математическое (безусловное) ожидание с.В.
- •Дисперсия (безусловная) с.В.
- •5.Квантили распределения
- •Нормальное (Гауссово) распределение
- •Функция Лапласа
- •Равномерное (равновероятное, прямоугольное)
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Распределение χ2
- •Двумерные с.В. («проклятие размерности»)
- •Свойства
- •Условные математические ожидания (регрессии)
- •II. Математическая статистика
- •Построение эмпирической (статистической) функция распределения
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик
- •Математического ожидания и дисперсии
- •Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения
- •Методы оценки параметров известного распределения
- •1.Метод моментов (Пирсона)
- •2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)
- •Парная линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Коэффициент детерминации регрессий
Функция Лапласа
- стандартное нормальное распределение с.в. от до . Проще рассматривать случай, когда .
- табулированная функция Лапласа, широко используемая для определения вероятности попадания в диапазон значений:
.
Роль нормального распределения. Теоретики и практики («мифы»).
Центральная теорема: Сумма конечного числа нормальных с.в. есть нормальная с. в.
Центральная предельная теорема: Сумма бесконечного числа с.в. с любыми законами распределения, но с примерно одинаковыми дисперсиями, имеет нормальное распределение.
Многие экономические показатели имеют нормальный или близкий к нормальному закон распределения: доход населения, прибыль фирмы в отрасли и др.
Пример. В результате длительных наблюдений определено, что дивиденды и по акциям фирм и являются нормальными с. в.:; . Стоимость каждой акции равна 100$. Инвестор хочет приобрести акции на 1000 $.
а)Какие законы распределения имеют доходы X, Y от вложения всей суммы в акции фирмы А или В? б)Каков закон распределения имеет доход Z от покупки акций в пропорции 2/3? в)Построить графики функций случайных величин X, Y, Z. г)Какова вероятность того, что полученный доход Z от вложения будет лежать в пределах от 110$ до 150$?
а)X ~ (50;) или Y ~ (150, );
б) Z ~ (mz=45+615=110, σz=);
в) При построении графиков целесообразно пользоваться правилом 3-х сигм и обязательно соблюдать условие нормировки (площадь под кривой распределения одна и та же - равна единице).
г)Р(110≤Z≤150)=Ф(0,43)-Ф(0)=0,16 (используются таблицы функции Лапласа).
Равномерное (равновероятное, прямоугольное)
распределение
Показательное (экспоненциальное) распределение
F(x)
- характеристическое свойство показательного распределения
Приложение - функция надежности. Пусть объект анализа начинает функционировать в момент времени и по истечении выходит из строя. Обозначим через время безотказной работы. Тогда, вероятность отказа за время t равна:
Для оценки вероятности безотказной работы («накапливающиеся отказы») часто используется экспоненциальное распределение. При этом параметр распределения λ=λ(t) является функцией времени. Технические системы, в демографии – смертность.
«Внезапные отказы» - Гамма – распределение.
Распределение χ2
Сумма квадратов нормальных с.в. ~ (0,1) является с.в.
и имеет табулированное распределение χ2 с числом степеней свободы. Здесь – число наложенных связей: обязательно - условие нормировки, и связи, связанные с расчетом тех или иных центральных или начальных моментов. Аналитическое выражение не приводится (сложное), распределение табулировано.
t - распределение (Стьюдента)
Если ~ (0,1), а ~χ2 с степенями свободы, то с.в. имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. . Основное распределение малых выборок (до 15 -17 – ти наблюдений). Распределение табулировано
F - распределение (Фишера)
Если и – независимые случайные величины, распределенные по закону χ2 с степенями свободы и , соответственно, то с.в.
имеет распределение Фишера (табулировано).
В статистике широко используют прием введения некоторой случайной величины, распределение которой не зависит от числовых характеристик исходного анализируемого распределения. Такие величины имеют распределение Стьюдента, Фишера и .