Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий
- для несовместных
событий
- для совместных
событий
Доказательство:
Так как события А
и В считаются совместными, то событие
наступит, если произойдет хотя бы одно
из трех следующих несовместных событий:
Тогда
(1)
Событие
можно определить следующей алгеброй
событий
и вероятностью
,
откуда
(2)
Аналогично для
события
получим
(3)
Подставляя (2) и (3) в (1), будем иметь:
Замечание. Совместные события
и
могут быть зависимыми или независимыми.
Для независимых и совместных событий:
где
Для зависимых и совместных событий:
Пример. Вероятность попадания в
цель при стрельбе первого и второго
орудий соответственно равны:
.
Найти вероятность попадания при одном
залпе (из двух орудий) хотя бы одним из
орудий. Обозначим через
– попадание первого орудия, а через
– попадание второго орудия.
Отметим, что в данном случае
и
– независимые события, тогда
.
Искомая вероятность будет равна
Формула полной вероятности
Пусть событие
может наступить при условии появления
одного из несовместных событий
,
называемых гипотезами
и образующих полную группу событий. При
этом вероятности
и
будем считать
известными.
Тогда справедлива
формула
полной вероятности
Формула полной вероятности – «удобная схема» (форма) расчета вероятности событий.
Пример 1. Имеются 2 набора деталей.
Вероятность того, что деталь первого
набора стандартна, равна 0,8, а второго
– 0,9. Найти вероятность того, что взятая
наудачу деталь из наудачу взятого набора
– стандартна. Обозначим, через
событие – извлеченная деталь стандартна.
В качестве гипотез удобно принять
события
- взята деталь из первого набора,
- взята деталь из второго набора. Эти
события несовместны (берут деталь один
раз), образуют полную группу событий
(деталь берут) и, в данном случае,
равновероятны (набор выбирается
наудачу):
Выбор того или иного набора – условие.
В различных наборах вероятность
извлечения стандартной детали различна:
Тогда рассмотрим сумму двух событий,
каждое из которых, в свою очередь, состоит
из произведения, т.е. формулу полной
вероятности
Пример 2. В первом наборе 20 деталей
и из них 18 - стандартны. Во втором наборе
10 деталей и из них 9 - стандартны. Из
второго набора наудачу взята деталь и
переложена в первый. Найти вероятность
того, что деталь, наудачу извлеченная
из первого набора, будет стандартна.
Введем обозначения для событий:
– из первого набора извлечена стандартная
деталь,
– из второго набора извлечена стандартная
деталь, 
– из второго набора извлечена нестандартная
деталь. Можно ли
и
- считать гипотезами?
Формула вероятности гипотез
До сих пор
рассматривалась - априорная,
безусловная
вероятность гипотез
.
Опытные данные (реальные события) могут
уточнить априорную характеристику
объекта анализа, определить
- условную
(апостериорную) вероятность гипотезы.
По формуле произведения вероятности
событий можем записать:
Откуда выразим
условную
апостериорную
(условие - событие
произошло) вероятность
Знаменатель раскроем по формуле полной вероятности и получим формулу вероятности гипотез (формулу Байеса, лежащую в основе известного «байесовского подхода» в уточнении гипотез):
.
Например,
Пример. Детали, изготовленные цехом, попадают для проверки на стандартность к одному из контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. (Их загрузка или производительность). Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером – 0,94, а вторым – 0,98 (второй имеет лучшую квалификацию). Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что годную деталь проверил первый контролер.
Введем обозначения:
– деталь признана стандартной (событие
произошло); гипотезы:
- деталь проверил первый контролер,
– деталь проверил второй контролер:
Условные вероятности
Сравним априорную и апостериорную
вероятности гипотез
