- •14. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке I в случае сложных процентов.
- •22. Выведите формулы для коэффициентов приведения и наращения
- •23.Пусть известны n, I, r. Найдите наращенную сумму s и приведенную величину a годовой ренты. Приведите пример.
- •24.Пусть известны a, I, r. Найдите срок ренты n. Приведите пример.
- •29. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р-срочной ренты постнумерандо.
- •30. Напишите формулы для приведенной величины и наращенной сумм p-срочной ренты постнумерандо в случае k-кратного начисления процентов. Приведите пример ее применения.
- •31. Во сколько раз больше будет наращенная сумма в конце n–ого периода при ежепериодном (в конце периода) платеже r, чем при разовом платеже r в начальный момент времени?
- •37. Дайте определение и приведите пример выкупа ренты.
- •38. Дайте определение и приведите пример консолидации рент.
- •39. Дайте определение и приведите пример рассрочки платежа.
- •44. Сформулируйте правила Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Приведите
- •45. Выведите формулу доходности портфеля из n бумаг через доходности отдельных бумаг.
- •46. Как определяется доходность и риск портфеля из n бумаг?
- •53. Выведите уравнение минимальной границы.
- •54. Доказать, что уравнение минимальной границы является ветвью
- •55. Найдите портфель Марковица минимального риска при заданной
- •56. Опишите портфель Тобина.
- •57. Докажите, что прямая является касательной к графику минимальной границы.
- •63. Какова связь рыночной цены облигации с ее номинальной стоимостью
- •64. Проанализируйте зависимость доходности к погашению облигаций
- •65. Докажите, что относительное изменение цены облигации (в процентах) в результате изменения доходности к погашению будет тем меньше, чем выше купонная ставка.
- •72. Какова связь между дюрацией портфеля облигаций и дюрациями отдельных облигаций данного портфеля.
- •73. Дайте определение и приведите формулу для выпуклости портфеля облигаций
37. Дайте определение и приведите пример выкупа ренты.
Выкупом ренты называется замена ренты единовременным платежом. Принцип финансовой эквивалентности здесь сводиться к тому, что единовременный платеж P должен равняться современной величине выкупаемой ренты А.
A=R*(1-(1+i)-n)/i=P
По этой формуле определяется величина единовременного платежа при известных параметрах выкупаемой ренты: размере отдельного платежа R, сроке ренты n и процентной ставке i.
Пример:
Замените р-срочную ренту постнумерандо с параметрами R1=2500, n1=6,i1=12,5%, p=4 единовременным платежом в момент времени t=4.
Найдем единовременный платеж в момент времени t=0
A(p)=R/p*(1-(1+i)-n)/((1+i)1/p-1)=P
P=625*0,5067/0,002988=10597,378 руб
Найдем единовременный платеж в момент времени t=4
Pt=4=P*(1+i)4=10597,378*1,1254=16974,95
38. Дайте определение и приведите пример консолидации рент.
Консолидация рент - объединение нескольких рент в одну, основанное на принципе финансовой эквивалентности. Современная величина вновь образованной консолидированной ренты должна быть равна сумме современных величин заменяемых (объединяемых) рент: PV(1)=R1*(1-(1+i1)-n1)/i1 PV=PV(1)+PV(2)
PV(2)=R2*(1-(1+i2)-n2)/i2
Пример: Консолидируйте две ренты постнумерандо с параметрами R1=1000,
n1=3, R2=1500,n2=5, i=10% 4-х летней рентой постнумерандо с i=15%
PV(1)=R1*(1-(1+i1)-n1)/i1= 1000(1-1,1-3)/0,1= 2 487
PV(2)=R2*(1-(1+i2)-n2)/i2=1500(1-1,1 -5)/0,1=5 686
PV=PV(1)+PV(2)= 2 487+5 686=8173
PV=R*(1-(1+0,15)-4)/0,15
8173= R*(1-(1+0,15)-4)/0,15 => R=2851
39. Дайте определение и приведите пример рассрочки платежа.
Рассрочкой платежа называется замена долга(единовременного платежа) рентой. При этом все параметры ренты, кроме одного, а этот параметр определяется из условия равенства долга современной величине вводимой ренты: P=A=R*(1-(1+i)-n)/i
Пример: заменить единовременный платеж 345000 в момент времени t=2 p-срочной рентой постнумерандо с параметрами R1,n1=5,i1=15%, p=6
Приведем единовременный платеж в момент времени t=2 к моменту времени t=0
Pt=0=Pt=2*(1+i)-2=345000*1,15-2=260869,5652
A(p)=R/p*(1-(1+i)-n)/((1+i)1/p-1)=P
R=P*p*((1+i)1/p-1)/ (1-(1+i)-n)= 260869,5652*6*(1,151/6-1)/(1-1,15-5)=73370,06
40. Выразите доходность актива за два периода через доходности актива за каждый из периодов.
Доходности за периоды t1 и t2:
Доходность за весь период t=t1+t2
Перемножив , получаем , таким образом
41. Выразите доходность актива за три периода в целом через доходности актива за каждый из периодов
Доходности активов за периоды t1 – t3
Доходность за весь период t=t1+t2+t3
Перемножив , получаем , таким образом
42. Выразите доходность актива за несколько периодов в целом через
доходность актива за каждый из периодов.
Доходности активов за периоды t1 – t3
Доходность за весь период t=t1+t2+…+tn
…
Перемножив , получаем , таким образом
Для равных доходностей за отдельные периоды μ1=μ2= … = μn„ при этом промежутки времени могут оставаться произвольными и не равными друг другу) имеем
μ = (1 + μ1)n-1.
43. Дайте определение матрицам последствий и рисков. Выберите матрицу последствий размерности 3х4, найдите матрицу рисков и проведите полный анализ ситуации.
Матрица последствий (дохода) Q (qij) min, i= 1, …, m – возможная ситуация, qij – доход при принятии i – го решения и наступления j - ой ситуации.
Если бы ситуация была известна, то было бы принято решение qj = max qij т.к. мы ситуацию не знаем. i- ое решение влечет риск не добрать
rij = qj – qij, i= 1, …, m
R = (rij) – матрица рисков
Пример. Если матрица последствии , для нахождения матрицы Риска необходимо выбрать max значение по каждому столбцу, затем произвести вычитание каждого значения в соответствующем столбце из его максимального значения. Max значение по столбцам соответственно равно (7 4 3 7), находим матрицу риска