Теорема 5

Совокупность свободных векторов с введенными ранее операциями сложения и умножения на число является линейно-векторным пространством.

Доказательство

1) Так как операция сложения не зависит от представителей классов равенства, то достаточно проверить на закрепленных векторах.

По свойствам параллелограмма .

2) Так как операция сложения не зависит от представителей классов равенства, то достаточно проверить на закрепленных векторах.

Проверяем на представителях классов равенства. Из определения суммы получаем .

3) Нулевой элемент существует по построению. Нулевым вектором является класс закрепленных векторов, у которых начало и конец совпадают.

4) Для каждого закрепленного вектора существует вектор ему коллинеарный с противоположным направлением такой, что .

Для построения такого вектора достаточно отложить точку на расстоянии от точки , равном расстоянию между точками и , но по другую сторону от точки .

5)

Очевидно из подобия.

6) Векторы и коллинеарны и направлены в одну сторону. Их модули равны соответственно и , т.е. равны друг другу. Значит векторы равны.

7) Аналогично 6).

8) Аналогично 6).

Определение 15

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется сумма .

Определение 16

Если все коэффициенты в линейной комбинации равны , то такая линейная комбинация называется тривиальной.

Определение 17

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты , не все одновременно равные () такие, что .

Определение 18

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Замечание

Если - линейно независимы и , то .

Пример 1

Вектор образует линейно зависимую систему.

Доказательство

Возьмем , тогда . Не все коэффициенты равны , но линейна комбинация равна.

Пример 2

Совокупность векторов, один их которых нулевой образует линейно зависимую систему.

Доказательство

Обозначим векторы . Будем считать, что . Тогда линейная комбинация , но не все коэффициенты равны .

Теорема 6

Если система векторов линейно независимая, то и любая ее подсистема является линейно независимой.

Доказательство

Без ограничения общности будем считать, что подсистема векторов . Если линейно зависимые, то существуют коэффициенты , не все равные такие, что . Тогда линейная комбинация из всех векторов тоже равна . И в этой линейной комбинации не все коэффициенты равны . Получили, что вся система векторов линейно зависимая. Противоречие с условием.

Следствие

Если подсистема векторов системы векторов линейно зависимая, то и система векторов линейно зависима.

Теорема 7

Два коллинеарных вектора на плоскости или в пространстве линейно зависимы.

Доказательство

Если хотя бы один из векторов равен , то векторы линейно зависимы. Если векторы и коллинеарны и не равны , то найдется такое, что

Линейная комбинация равна и не все коэффициенты равны . Значит и линейно зависимы.

Теорема 8

Два вектора на плоскости или в пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда они не коллинеарны.

Доказательство

Если они линейно независимые, то они не могут быть коллинеарны по теореме 6. Если два вектора и неколлинеарны, то линейная комбинация этих векторов может обращаться в ноль только если . Если это не так, то найдутся и одновременно неравные такие, что . Пусть . Тогда . Это значит, что они коллинеарны.