Определение 57

Уравнение вида , где называется каноническим уравнением эллипса.

Определение 58

Декартовая система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид называется канонической системой координат.

Свойства эллипса

Пусть есть каноническое уравнение эллипса . Тогда

1) Эллипс имеет две оси симметрии – ось ординат и ось абсцисс.

Доказательство

Пусть - точка с координатами принадлежит эллипсу. Тогда точки удовлетворяют уравнению эллипса

. Точка симметрична точке относительно оси ординат, а точка симметрична точке относительно оси абсцисс.

Замечание

Прямая, проходящая через фокусы является главной осью симметрии. Прямая, перпендикулярная отрезку с концами в фокусах и проходящая через его середину тоже является осью симметрии.

Определение 59

Ось симметрии, проходящая через фокусы называется большей главной осью, а перпендикулярная ей ось симметрии – малой главной осью.

Замечание

Большая главная ось пересекает эллипс в точках, которые являются концами отрезка длины . Малая главная ось пересекает эллипс в точках, которые являются концами отрезка длины . .

Замечание

Если , то главные оси симметрии единственные. Если , то главных осей бесконечно много.

Определение 60

Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса.

2) Точка пересечения главных осей является центром симметрии эллипса. В канонической системе координат точка пересечения главных осей совпадает с началом координат. Поэтому для точки эллипса симметричной является точка . Так как , то и , т.е. принадлежит эллипсу.

Замечание

Если фигура ограничена, то на может обладать только одним центром симметрии.

3) В канонической системе координат эллипс ограничен прямоугольником

Доказательство

В канонической системе координат уравнение эллипса , значит для точек эллипса выполняются неравенства

4) Рассмотрим уравнение эллипса в канонической системе координат: . Пусть прямая проходит через центр симметрии эллипса. Тогда длина отрезка, отсекаемого эллипсом на этой прямой удовлетворяет неравенству . Причем левое неравенство превращается в равенство, только если прямая является меньшей главной осью, а правое неравенство превращается в равенство, только если прямая является большей главной осью. Пусть точка принадлежит эллипсу. Тогда расстояние от точки до центра симметрии удовлетворяет неравенству

Равенство слева достигается только если точка является вершиной и лежит на меньшей главной оси, а правое, если точка является вершиной и лежит на большей главной оси.

Определение 61

Центром эллипса будем называть центр симметрии эллипса.

Эксцентриситет и директриса

Пусть эллипс задан в канонической системе координат уравнением , где . Имеем . Отсюда .

Определение 62

Эксцентриситетом эллипса называется величина . Легко видеть, что и если (т.е. эллипс является окружностью), то . Выразим через и .

Рассмотрим прямую, перпендикулярную большей главной оси, проходящей через точку , где . Возьмем точку на эллипсе, координаты точки будем обозначать . Тогда расстояние от точки до прямой равно . Расстояние от точки до фокуса с координатами равно . Отношение расстояний от точки до фокуса и от точки до прямой равно . Это отношение постоянно, если . Таким образом прямая, перпендикулярная большей главной оси, отстоящая от центра эллипса на расстояние , лежащая по ту же сторону, что и фокус обладает тем свойством, что расстояние от любой точки эллипса до фокуса деленное на расстояние от этой точки до этой прямой постоянно и равно . Аналогично можно доказать, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до прямой, перпендикулярной большей главной оси, проходящей через точку постоянно и равно .