§2 Тригонометричні функції числового аргументу
Тригонометричним
колом
називається коло центр якого знаходиться
у початку координат, а радіус дорівнює
одиниці. Осі абсцис (Ох) і ординат (Оу)
ділять одиничне коло на чотири чверті(І
– IV),
або чотири квадранта. Відзначимо на осі
Ох справа від початку координат точку
,
яка лежить на тригонометричному колі:
.
Радіус
називається початковим радіусом. При
повороті початкового радіуса
біля центра О на кут
точка
переходить в деяку точку
.
рис.1
Синусом
кута
називається відношення ординати точки
до радіусу, а косинусом
кута
називається відношення абсциси точки
до радіусу. Оскільки
,
то
,
а
.
Оскільки координати
будь-якої точки
одиничного
кола задовольняють рівнянню кола,
.
Співвідношення
називається
основною
тригонометричною тотожністю.
Тангенсом
кута
називається відношення ординати точки
до її абсциси:
.
Котангенсом
кута
називається відношення абсциси точки
до її ординати:
.
Секансом кута
називається величина, обернена
,
тобто
.
Косекансом
кута
називається величина, обернена
,
тобто
.
Знаки
тригонометричних функцій
,
,
,
у різних чвертях подано у табл. 1
Таблиця 1
|
|
І |
ІІ |
ІІІ |
ІV |
|
|
+ |
+ |
- |
- |
|
|
+ |
- |
- |
+ |
|
|
+ |
- |
+ |
- |
|
|
+ |
- |
+ |
- |
Зобразимо таблицю значень тригонометричних функцій деяких кутів, які найбільш часто використовуються на практиці (табл. 2).
Таблиця 2
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
180 |
270 |
360 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
-1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
9. На
тригонометричному колі побудувати кут
повороту, що дорівнює:
.
10.
Визначити, кутом якої чверті є кут
,
якщо кут
дорівнює:
.
11.
Серед кутів повороту
знайти такі, при яких початковий
радіус-вектор займе таке саме положення,
як і при повороті на кут:
1)
2)
.
12. Позначити на одиничному колі точки, які відповідають числам:
1)
,
де
;
2)
,
де
.
13. Одиничний
радіус-вектор
при поверненні на кут
має координати
.
Знайти
.
14.
Одиничний радіус-вектор
при поверненні на кут
має координати
.
Знайти
.
15. Обчислити:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
16. Знайти значення виразу:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
17. Знайти найбільше та найменше значення виразу:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
18. Визначити знак виразу:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
.