- •I. Комплексные числа. Многочлены
- •1. Комплексные числa
- •Решение. А) Перепишем первое уравнение в виде . Из геометрического смысла модуля разности двух комплексных чисел следует, что множество решений
- •2. Многочлены
- •Задание 1.1
- •Задание 1.2
- •Задание 1.3
- •Задание 1.4
- •Задание 1.5
- •Задание 1.6
- •Задание 1.7
Решение. А) Перепишем первое уравнение в виде . Из геометрического смысла модуля разности двух комплексных чисел следует, что множество решений
этого уравнения задаёт окружность радиусом 1 с центром в точке . Аналогично находим, что решением уравнения является окружность радиусом 1 с центром в точке (1 + 2i). Решением нашей системы уравнений являются точки пересечений этих окружностей.
Запишем z в алгебраической форме: z = x + yi.
Тогда
Отсюда, вычитая из первого уравнения второе, получим и находим x = 3/2 . Подставив это значение в первое уравнение, найдём y: ; , . Таким образом, решениями нашей системы являются числа , .
б) Представление z в алгебраической форме приводит нас к неравенству x y. Решением этого неравенства является замкнутая полуплоскость (заштриховано).
в) Перепишем неравенство в виде
.
Учитывая, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости, приходим к выводу, что решением этого неравенства является кольцо с центром в точке (2 – 3i), внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 2.
2. Многочлены
Многочленом (или полиномом) степени , называется функция
, (10)
где – известные комплексные числа (коэффициенты), при этом старший коэффициент отличен от 0, z – переменная комплексная величина. Степень многочлена f(z) обозначается deg f(z).
На множестве всех многочленов очевидным образом вводятся операции сложения и умножения. Число z0 называется нулём многочлена f(z) , если f(z0) = 0.
Теорема 1 (о делении многочленов). Для любых многочленов f(z) и g(z) существуют многочлены h(z) и r(z) такие, что:
1) f(z) = h(z) g(z) + r(z),
2) deg r(z) < deg g(z).
При этом h(z) и r(z) определяются однозначно.
Многочлен h(z) называется частным, а r(z) – остатком от деления f(z) на g(z). При этом оказывается, что deg f = deg g + deg h. Если r(z) 0, то говорят, что f(z) делится на g(z).
Теорема 2. Число z0 является нулём многочлена f(z) в том и только в том случае, если f(z) делится на линейный многочлен (z – z0).
Число z0 называется нулём кратности m многочлена f(z), если f(z) делится на (z – z0)m и не делится на (z – z0)m+1. Можно дать другое, равносильное приведённому, определение: z0 является нулём кратности m для многочлена f(z), если f(z) представим в виде
f(z) = (z – z0)m g(z), где g(z) – такой многочлен, что g(z0) 0 .
Теорема 3 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени n 1 имеет ровно n нулей, если каждый нуль считать столько раз, какова его кратность.
Следствием основной теоремы алгебры является то, что если z1, z2, … , zm – нули многочлена (1) кратностей k1, k2, … , km соответственно, то f(z) представим в виде
,
при этом , k1 + k2 + … +km = n .
Для того чтобы несократимая дробь (p – целое, q – натуральное) была нулём многочлена f(z) с целыми коэффициентами aj, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена a0, а число q – делителем старшего коэффициента аn. В частности, если f(z) имеет целые коэффициенты aj и an = 1, то рациональными нулями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена a0 .
Теорема 4. Если коэффициенты многочлена f(z) – действительные числа и – нуль f(z), то z0 = – i также является нулём этого многочлена.
Из последней теоремы следует, что если f(z) – многочлен с действительными коэффициентами, то он представим в виде
, (11)
где zj , pj , qj – действительные числа и квадратичные функции неразложимы (т.е. имеют отрицательный дискриминант), при .
При этом k1 + k2 + … + km + 2(r1 + r2 + … + rs) = n .
Если f(z), g(z) – многочлены, то функция называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной, если deg g(z) < < deg f(z). Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Если – правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами и f(z) имеет разложение (3), то h(z) допускает следующее представление в виде суммы простейших дробей:
. (12)
Коэффициенты находятся путём приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях z у многочлена g(z) и многочлена, который получается в числителе правой части (11) после приведения суммы к общему знаменателю (метод неопределённых коэффициентов).
Пример 6. Найти все нули многочлена и разложить его на неразложимые множители с действительными коэффициентами, если известен один его нуль .
Решение. f(z) имеет действительные коэффициенты, поэтому наряду с z1 = 2+i нулём f(z) является также z2 = = 2–i. Значит, f(z) делится на .
Разделим f(z) на уголком
Таким образом, . Найдём нули второго множителя: z2 + 2z + 10 = 0, z3,4 = –1 3i.
Итак, нулями многочлена f(z) являются: z1 = 2 + i, z2 = 2 – i,
z3 = –1 – 3i, z4 = –1 + 3i. Многочлен f(z) разлагается на неразложимые множители (квадратные функции с отрицательными дискриминантами) следующим образом:
z4 – 2z3 + 7z2 – 30z + 50 = (z2 – 4z + 5)(z2 +2z +10) .
Пример 7. Дан многочлен f(z) = z4 – 6z3 + 10z2 + 2z – 15:
а) подобрать целые нули многочлена среди делителей свободного члена;
б) разложить f(z) на линейные и неразложимые квадратичные множители с действительными коэффициентами;
в) разложить f(z) на линейные множители с комплексными коэффициентами;
г) разложить дробь (2z – 3) / f(z) на простейшие дроби с действительными коэффициентами.
Решение. а) Делителями числа 15 являются: 1, 3, 5, 15.
В результате проверки убеждаемся, что z1 = –1 является нулём f(z):
f(–1) = 0. Следовательно, f(z) делится на (z – z1) = z + 1. Выполним деление
Имеем: f(z) = (z + 1) (z3 – 7z2 +17z – 15). Найдём целые нули второго множителя среди делителей свободного члена (–15): 1; 3; 5; 15.
В результате проверки убеждаемся, что является нулём многочлена (z3 – 7z2 +17z – 15) и, следовательно, многочлена f(z). Значит, f(z) делится на (z – z1) (z – z2) = (z + 1) (z – 3) = z2 – 2z – 3. Разделим f(z) на этот квадратный трёхчлен:
Таким образом, f(z) = (z2 – 2z – 3)(z2 – 4z + 5). При этом второй множитель (z2 – 4z +5) не имеет целых (и даже действительных) нулей. Итак, f(z) имеет лишь два целых нуля: z1 = –1 и z2 = 3.
б) Так как z2 – 4z + 5 = 0 имеет лишь комплексные нули и , то искомым разложением будет уже полученное .
в) f(z) имеет 4 однократных (говорят, простых) нуля: z1 = –1, z2 = 3,
z3 = 2 – i, z4 = 2 + i. Старший коэффициент f(z) равен 1. Поэтому
f(z) = (z – z1)(z – z2 )(z – z3)(z – z4) или f(z) = (z + 1)(z – 3)
(z – 2 + i)(z –2– i).
г) Дробь (2z – 3)/f(z) является правильной. Имеем
.
Приведём последнюю сумму к общему знаменателю:
Так как f(z) равен знаменателю левой части, то получим равенство
A(z –3)(z2– 4z +5) + B(z + 1)(z2– 4z +5) + (Cz + D)(z +1)(z – 3)2z – 3.
Неизвестные коэффициенты А, В, С, D можно найти, раскрыв скобки в левой части, сгруппировав слагаемое по степеням z и приравняв соответствующие коэффициенты в левой и правой частях равенства, при этом получится система из 4-х линейных алгебраических уравнений:
(A + B + C)z3 + (– 7A – 3B – 2C + D)z2 + (17A + B – 3C – 2D)z +
+(–15A + 5B – 3D) = 2z – 3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получаем систему
Решая её, находим A = 1/8, B = 3/8, C = –1/2, D =1. Итак, .