§ 28. Кинетическая энергия атт

28.1. Кинетическая энергия жёсткого ротатора

Пусть жёсткий ротатор вращается с угловой скоростью вокруг некоторой оси (рис. 27.1.1), его момент инерции относительно оси вращения – . Его кинетическая энергия – сумма кинетических энергий его точек:

. (1)

При выводе (1) использовано, что и .

28.2. Теорема об изменении кинетической энергии для жёсткого ротатора

Основной закон динамики вращательно движения АТТ вокруг неподвижной оси: . (1)

Работа силы над АТТ, вращающимся вокруг неподвижной оси :

. (2)

Подставив (1) в (2), получим теорему о связи кинетической энергии и работы для АТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси:

. (3)

Таким образом, работа, совершаемая при вращении жесткого ротатора, равна изменению кинетической энергии его вращательного движения.

28.3. Полная кинетическая энергия атт

Если АТТ вращается и при этом его ЦИ движется поступательно, то оно имеет кинетическую энергию как поступательного, так и вращательного движения. Полная кинетическая энергия АТТ равна сумме кинетической энергии поступательного движения его ЦИ и кинетической энергии его вращательного движения относительно ЦИ:

, (1)

где – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через ЦИ; – скорость ЦИ, – скорость -той точки относительно ЦИ.

Упражнение. Вывести формулу (1) самостоятельно.

Формула (1) справедлива в общем случае. Её можно применить для рассмотрения плоского движения АТТ, когда, например, направление оси вращения не меняется, хотя она и перемещается вместе с ЦИ. В этом случае справедливо соотношение (28.1): , с учётом которого формула (1) принимает вид: .

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении АТТ с постоянным направлением оси вращения равна сумме кинетических энергий поступательного движения ЦИ и вращательного движения относительно ЦИ.

28.3. Качение атт

Пример. Обруч массой скатывается (без проскальзывания) с наклонной плоскости из состояния покоя, когда его ЦИ находится на высоте по вертикали по отношению к положению на основании плоскости (рис. 28.3.1). Чему будет равна скорость обруча у основания наклонной плоскости? Потерями за счёт тормозящих сил пренебречь.

Для решения используем закон сохранения энергии, в котором необходимо учесть кинетическую энергию вращательного движения. Полная энергия обруча на любом расстоянии по вертикали над основанием наклонной плоскости постоянна и равна , где – высота, на которой находится ЦИ АТТ. Приравняем полную энергию на вершине наклонной плоскости (, , ) и полную энергию у основания () :

. (1)

Момент инерции обруча относительно оси вращения равен , где – радиус обруча. Так как обруч скатывается без проскальзывания, скорость поступательного движения его ЦИ относительно наклонной плоскости . Подставив эти формулы в (1), получим: . Сокращая величины , находим: .

§ 29. Кпд механизмов

Золотое правило механики ничего не говорит об эффективности механизмов. Общей мерой эффективности является коэффициент полезного действия. КПД – это безразмерная характеристика эффективности системы, устройства, машины в отношении преобразования или передачи энергии; определяется отношением полезно использованной энергии к суммарному количеству энергии, полученному системой : . Из-за неизбежных потерь на трение, на нагревание окружающих тел и т. п. всегда и выражается в виде правильной дроби или в процентах.

В электрических двигателях, например, КПД – отношение совершаемой полезной механической работы к электрической энергии, получаемой от источника; в тепловых двигателях – отношение полезной механической работы к затрачиваемому количеству теплоты. КПД устройств, преобразующих различные виды энергии в механическую работу, передающих энергию и т. д. вычисляется одинаковым образом. В силу своей общности понятие КПД позволяет сравнивать и оценивать с единой точки зрения такие различные системы, как атомные реакторы, электрические генераторы и двигатели, теплоэнергетические установки, полупроводниковые приборы, биологические системы и т. д.