- •1 Направленные отрезки
- •2 Понятие вектора
- •3 Сложение векторов
- •Свойства сложения векторов.
- •4 Разность векторов.
- •5 Умножение вектора на число.
- •Свойства умножения вектора на число.
- •6 Признак коллинеарности векторов.
- •7 Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.
- •8 Линейная зависимость и независимость системы векторов.
- •9 Геометрический смысл линейной зависимости векторов.
- •10 Базис векторного пространства. Координаты вектора.
- •11 Векторные подпространства
- •12 Величины направленных отрезков на оси
- •13 Основные виды параллельного проектирования
- •14 Проекция вектора на ось
- •15 Скалярное произведение векторов
- •16 Координатная форма скалярного произведения
- •17 Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
- •Ортогональная проекция вектора на ось.
- •Ортогональная проекция вектора на плоскость.
- •18 Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе
- •19 Системы координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи на метод координат
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •20 Скалярное произведение на плоскости в аффинных координатах.
- •21 Ориентация плоскости и пространства.
- •22 Векторное произведение векторов.
- •Координатная форма векторного произведения.
- •Приложения векторного произведения.
- •23 Двойное векторное произведение.
- •24 Смешанное произведение векторов.
- •25 Площадь ориентированного параллелограмма. Вычисление площадей.
11 Векторные подпространства
Определение 11.1. Пусть --- непустое множество векторов из векторного пространства . Множество называется векторным подпространством пространства , если выполнены следующие два условия: 1. Если и , то . 2. Если , то для любого вещественного числа . По аналогии с пространством введем понятие базиса подпространства . Базисом векторного подпространства называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов из , что любой вектор подпространства является линейной комбинацией данной системы векторов. Можно доказать, что все базисы подпространства состоят из одного и того же числа векторов. Это число называется размерностью векторного подпространства. Пусть теперь имеем дело с пространством . Так как , а в любая система, состоящая более чем из трех векторов линейно зависима, то размерность любого подпространства пространства не больше, чем три. Рассмотрим примеры векторных подпространств пространства и выясним их геометрический смысл. 1. Возьмем два неколлинеарных вектора и пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:
,
где --- произвольные действительные числа. Это множество, как нетрудно проверить, удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется подпространством натянутым на векторы и , и обозначается . Пусть --- плоскость, которой параллельны векторы и . Докажем, что --- множество тех и только тех векторов пространства , которые параллельны плоскости . Действительно, при любых значениях и векторы и линейно зависимы, поэтому они компланарны, то есть вектор параллелен плоскости . Обратно, любой вектор , параллельный плоскости , компланарен с векторами и , поэтому является линейной комбинацией векторов и , то есть принадлежит множеству . Векторы и образуют базис подпространства . В самом деле, эти векторы линейно независимы по следствию 9.1., и любой вектор подпространства является линейной комбинацией векторов и по построению этого множества. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным векторным подпространством пространства . Еще раз отметим, что базисом такого подпространства является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов. 2. Возьмем ненулевой вектор пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:
,
где --- произвольное действительное число. Это множество является векторным подпространством пространства . Обозначим его через . Пусть --- прямая, которой параллелен вектор . Аналогично примеру 1 можно доказать, что --- множество всех тех и только тех векторов пространства , которые параллельны прямой . Вектор является базисом подпространства , поэтому --- одномерное векторное подпространство. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой прямой, является одномерным векторным подпространством пространства . 3. Рассмотрим множество, состоящее только из одного нулевого вектора. Оно удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется нулевым или тривиальным векторным подпространством. Принято считать, что размерность этого подпространства равна нулю.