- •1 Направленные отрезки
- •2 Понятие вектора
- •3 Сложение векторов
- •Свойства сложения векторов.
- •4 Разность векторов.
- •5 Умножение вектора на число.
- •Свойства умножения вектора на число.
- •6 Признак коллинеарности векторов.
- •7 Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.
- •8 Линейная зависимость и независимость системы векторов.
- •9 Геометрический смысл линейной зависимости векторов.
- •10 Базис векторного пространства. Координаты вектора.
- •11 Векторные подпространства
- •12 Величины направленных отрезков на оси
- •13 Основные виды параллельного проектирования
- •14 Проекция вектора на ось
- •15 Скалярное произведение векторов
- •16 Координатная форма скалярного произведения
- •17 Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
- •Ортогональная проекция вектора на ось.
- •Ортогональная проекция вектора на плоскость.
- •18 Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе
- •19 Системы координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи на метод координат
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •20 Скалярное произведение на плоскости в аффинных координатах.
- •21 Ориентация плоскости и пространства.
- •22 Векторное произведение векторов.
- •Координатная форма векторного произведения.
- •Приложения векторного произведения.
- •23 Двойное векторное произведение.
- •24 Смешанное произведение векторов.
- •25 Площадь ориентированного параллелограмма. Вычисление площадей.
6 Признак коллинеарности векторов.
ТЕОРЕМА 6.1. Пусть . Тогда Доказательство необходимости. Существование докажем конструктивно, т.е. укажем число удовлетворяющее условиям теоремы. Положим Легко проверить, что векторы и имеют одинаковые длины и направления. Следовательно, . Докажем теперь единственность. Пусть существует еще число такое, что . Тогда имеем равенство так как . Доказательство достаточности. Непосредственно следует из определения произведения вектора на число.
7 Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.
Определение 7.1. Вектор называется параллельным плоскости , если прямая либо параллельна плоскости , либо лежит в ней. Нулевой вектор параллелен любой плоскости. Определение 7.2. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. ТЕОРЕМА 7.1. Пусть векторы такие, что неколлинеарен . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда существуют и определены однозначно числа и такие, что выполняется равенство . Доказательство необходимости. Существование. От произвольной точки отложим векторы и . Так как векторы компланарны, то точки лежат в одной плоскости, а точки не лежат на одной прямой ( неколлинеарен ). Рассмотрим возможные случаи расположения точки . 1. не лежит на прямых и .Через точку проведем прямые параллельные прямым и соответственно, где . По правилу параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов имеем . Но точки , значит . По теореме 6.1. получаем, что , т.е. . 2. . В этом случае и по теореме 6.1. получаем, что . Полагая , снова приходим к требуемому равенству. 3. . Этот случай рассматривается аналогично случаю 2. Итак, существование чисел и доказано. Переходим к доказательству их единственности. Предположим, что существуют еще числа и , удовлетворяющие условию теоремы. Тогда имеем равенство Если бы , то имело бы место равенство из которого следовало бы по теореме 6.1., что . Но это противоречит условию. Следовательно, . Аналогично можно доказать, что . Необходимость доказана. Доказательство достаточности. Пусть имеет место равенство . Отложим от некоторой точки вектор , затем от точки вектор . Тогда . Рассмотрим плоскость, содержащую три точки , обозначим ее через . Тогда получаем, что векторы параллельны этой плоскости. Но тогда плоскости параллельны также векторы , т.е. они компланарны по определению. Теорема доказана полностью. Для дальнейшего изложения нам потребуется еще одна теорема, доказательство которой предлагаем провести самостоятельно в полной аналогии с доказательством теоремы 7.1. ТЕОРЕМА 7.2. Если векторы некомпланарны, то для любого вектора имеет место равенство
8 Линейная зависимость и независимость системы векторов.
В этом параграфе рассматривается произвольное векторное пространство (см. Замечание 5.1.) Определение 8.1. Пусть дана система векторов
Говорят, что вектор является линейной комбинацией векторов системы с коэффициентами , если справедливо равенство
Говорят еще, что вектор линейно выражается через векторы системы . Определение 8.2. Векторы системы называются линейно независимыми, если равенство
выполняется тогда и только тогда, когда все равны нулю. Отметим, что набор чисел является нулевым тогда и только тогда, когда все числа этого набора равны нулю. В противном случае, набор чисел считается ненулевым. Определение 8.3. Векторы системы называются линейно зависимыми, если существует хотя бы один ненулевой набор такой, что имеет место равенство . Свойства линейной зависимости. 1. Система векторов, содержащая , линейно зависима. Действительно, справедливо равенство 2. При система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. В самом деле, пусть система векторов линейно зависима. Тогда по определению выполнено равенство , причем, например, . Перепишем это равенство в виде . Получаем, что является линейной комбинацией векторов . Обратно, пусть, например, является линейной комбинацией векторов . По определению это означает, что имеем равенство , которое равносильно равенству . Заметим, что набор чисел --- ненулевой, поэтому система векторов линейно зависима. 3. Если подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Пусть дана система векторов и пусть для определенности первые векторов линейно зависимы. Тогда по определению существует ненулевой набор чисел такой, что имеет место равенство . Но тогда, очевидно, имеет место и равенство . Для завершения доказательства осталось заметить, что набор чисел также ненулевой. 4. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима. Доказательство сразу получается методом от противного из доказанного свойства 3.