8. Примеры выполнения заданий Задание 1.

Задано скалярное поле u=arctg(x²y²+z²), точка M(1,2,-2) в области поля и вектор =3-2-1. Требуется найти градиент поля в точке M и производную поля в направлении вектора .

1.1 Находим частные производные функции u

=, , .

1.2 Вычисляем значения частных производных в точке М, подставляя в частные производные значения координат точки x=1, y=2, z=-2

= 0.123 , = 0.062 , = -0.062.

1.3 Записываем значение градиента скалярного поля

0.123+ 0.062- 0.062.

1.4 Определяем направляющие косинусы cosα, cosβ и cosγ вектора по формулам (если координаты вектора =3-2-1- =3, =-2, =-1)

cosα =, cosβ = , cosγ = .

Подставляя в эти формулы =3, =-2, =-1, получим

cosα = 0.802, cosβ = -0.535, cosγ = -0.267.

1.5 Записываем значение производной скалярного поля u в направлении вектора

= 0.082

Задание 2.

Задано векторное поле = x²+ z². В поле расположена замкнутая поверхность S, ограниченная с одной стороны поверхностью  с уравнением z²=4-x-y, а с трех других сторон координатными плоскостями.

Требуется вычислить:

• поток векторного поля через полную поверхность S в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и, используя формулу Остроградского-Гаусса;

• циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру , ограничивающему поверхность , непосредственно и применив формулу Стокса к контуру  и ограниченной им поверхности  с нормалью ;

1. Рисуем поверхность . Для этого используем сечение поверхности  плоскостями параллельными координатным плоскостям.

Рис. 1

2.1.1. Сечем поверхность  плоскостью Oxy. Ее уравнение z=0. Из уравнения поверхности z²=4-x-y при z=0 получаем 0=4-x-y или y=4-x. Мы получили уравнение прямой и строим ее по двум точкам x=0, y=4 и x=4, y=0.

2.1.2. Сечем поверхность  плоскостью Oyz. Ее уравнение x=0. Из уравнения поверхности z²=4-x-y при x=0 получаем z²=4-y или y=4- z² или для первого квадранта z=. Строим эту линию на плоскости Oyz по точкам.

2.1.3 Точно также сечем поверхность плоскостью Oxz (ее уравнение y=0.) и строим линию z²=4-x или для первого квадранта z=.

2.2. Записываем формулу Остроградского-Гаусса

.

В нашем случае P=x², Q= z², R=0, то есть

.

2.3. Вычисляем тройной интеграл

= .

Для данного примера Z₁(x,y) - уравнение нижней поверхности, ограничивающей объем V: это плоскость Oxy или АОС или D_xy. Их уравнение z=0, то есть Z₁(x,y)=0. Z₂(x,y) – уравнение верхней поверхности z²=4-x-y, то есть Z₂(x,y) это . В двойном интеграле по D_xy (АОС) преобразованном в двукратный пределы интегрирования по x постоянные от 0 до 4, а по y от линии Ox до линии y=4-x.

Таким образом,

= = 2048/105.

2.4. Теперь вычислим поток вектора непосредственно, используя интеграл

= .

Отдельно вычисляем потоки через поверхности АВС, АОС, АОВ и ВОС.

2.5 Поток через поверхность АВС: .

Разделим интеграл на два и вычислим:

= (переходим от поверхностного интеграла к двойному интегралу, заменяя в поверхностном интеграле x на уравнение поверхности АВС x=4-y-z² и, так как вектор внешней нормали к поверхности ABC составляет с осью Ox острый угол, то знак у двойного интеграла выбираем +) == =2048/105.

= (переходим от поверхностного интеграла к двойному интегралу, заменяя в поверхностном интеграле y на уравнение поверхности АВС y=4-x-z² и, так как вектор внешней нормали к поверхности ABC составляет с осью Oy острый угол, то знак у двойного интеграла выбираем +) = = = 64/15.

Складывая полученные значения, находим поток вектора F через поверхность АВС = 2496/105.

2.6 Поток через поверхность АОС.

Рис. 2.

Вектор нормали к АОС параллелен оси Oz и направлен противоположно Oz, то есть = -, и направляющие косинусы вектора : cos=0, cos=0, cos= -1. Поэтому yz= cosS= 0, xz= cosS = 0 и =0.

2.7 Поток через поверхность ВОС.

Рис. 3.

В этом случае = - и направляющие косинусы вектора : cos= -1, cos=0, cos=0. Поэтому xz = cosS = 0 и поток =

(переходим от поверхностного интеграла к двойному интегралу, заменяя в поверхностном интеграле x на уравнение поверхности ВОС x=0 и, так как вектор внешней нормали к поверхности ABC составляет с осью Oy тупой угол (180º), то знак у двойного интеграла выбираем - )

-= -= 0.

2.8 Поток через поверхность АОВ.

Рис. 4.

В этом случае = - и направляющие косинусы вектора : cos=0, cos= -1, cos=0. Поэтому yz= cosS = 0 и поток = (переходим от поверхностного интеграла к двойному интегралу, заменяя в поверхностном интеграле y на уравнение поверхности AOB y=0 и, так как вектор внешней нормали к поверхности AOB составляет с осью Oy тупой угол, то знак у двойного интеграла выбираем -) =

- = - = - 64/15.

2.9. Складываем потоки через поверхности АВС, АОС, АОВ и ВОС и получаем поток через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V: 2048/105. Как видно, потоки, вычисленные непосредственно и с использованием теоремы Остроградского-Гаусса совпадают.

Теперь вычислим циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру  непосредственно и по формуле Стокса..

2.10. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру  определяется криволинейным интегралом 2-го рода

.

В данном случае Р=x², Q= z², R=0 то есть .

Разделяем интеграл по ACBA на три интеграла, соответственно по линиям AC, CB и BA

.

2.11. Согласно рисунку 1 уравнения линий АС, СВ, ВА:

АС: y=4-x , z=0 или в параметрической форме x=t, y=4-t, z=0;

CB: y=4-z², x=0 или в параметрической форме z=t, y=4-t², x=0;

BA: x=4-z², y=0 или в параметрической форме z=t, x=4-t², y=0;

8. В соответствии с правилами вычисления криволинейного интеграла 2-го рода если L пространственная кривая с уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t) и отрезок интегрирования t[,] , то

2.12. В нашем случае:

для линии AC t[4,0]

;

для линии CB t[0,2]

;

для линии BA t[2,0]

;

2.13. Складываем результаты расчетов и получаем

2.14. Запишем формулу Стокса

В нашем случае σ описывается уравнением z²=4-x-y, P=x², Q=z², R=0 поэтому

=

Как видно, циркуляции, вычисленные непосредственно и с использованием формулы Стокса совпадают.