- •Саратовский государственный технический университет
- •Введение
- •1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент.
- •2. Векторное поле. Поток вектора через поверхность.
- •3. Циркуляция и работа векторного поля.
- •4. Дивергенция и ротор векторного поля.
- •5. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной форме.
- •6. Потенциал векторного поля.
- •7. Варианты заданий Задача 1
- •Задача 2
- •8. Примеры выполнения заданий Задание 1.
- •Задание 2.
- •8. Указания по оформлению и сдаче самостоятельной работы
- •Литература
7. Варианты заданий Задача 1
Задано скалярное поле u=u(x,y,z), точка M в области поля и вектор . Требуется найти в точке M градиент поля и производную поля в направлении вектора .
1. u=n(x2+y2+z2); M(1,2,-1); =2+4-2.
2. u=tg(x2y2+z2); M(1,2,2); =3-2+1.
3. u=arctg(x2+y2z2); M(1,3,1); =4+1+3.
4, u=n(x3+y4+z2); M(1,1,-1); =2+2-2.
5. u=sin(x2+y2z3); M(1,2,1); =3+3-2.
6. u=n(x2y3+z2); M(2,2,1); =1+2-3.
7. u=arcctg(x2+y3z2); M(1,2,-2); =2+3-2.
8. u=cos(x2y2+z2); M(2,1,-1); =2+4+2.
9. u=n(x3+y2+z3); M(1,-2,1); =2-4-2.
10. u=n(x2+y2)-z2xy; M(1,2,-1); =-2+4-2.
11. u=cos(x2)+y2z3; M(1,2,-1); =2+4-2.
12. u=n(x2+2y3+4z2); M(1,2,3); =2+4-2.
13. u=x2/y2+xz3; M(2,2,-1); =2+4-2.
14. u=arctg(x/y)+ y2z2; M(1,2,-1); =2+4-2.
15. u=sin(x3+y2)-xz2; M(1,2,2); =2-3+1.
16. u=yn(2x2+3z2); M(1,2,3); =2+4-2.
17. u=arctg(yx2+z2); M(1,2,1); =4+2+3.
18. u=sin(x3+y3)-yz2; M(2,,2); =2+3+1.
19. u=cos(y2)+x2z3; M(1,-2,-1); =3+2-2.
20. u=n(x3+y2)-z2y; M(-1,2,1); =-2+3-2.
21. u=ctg(x3y2+z4); M(1,-2,2); =4-2+1.
22. u=tg(x2y+z3); M(2,-1,-1); =4+1+2.
23. u=x2/z2+yz3; M(2,2,-1); =2+4-2.
24. u=arctg(zx2+y2); M(1,2,1); =4+2+3.
25. u=n(x2+y3)-zy2; M(-1,2,1); =-2+4-2.
26. u=tg(xy2+z4); M(1,2,-2); =3-2+1.
27. u=arcctg(x2+yz3); M(1,-2,-2); =2+3-2.
28. u=ctg(x2y+xz3); M(2,1,-1); =3+1+2.
29. u=n(x2+y3+z3); M(1,2,1); =4-2-2.
30. u=tg(x2y2+z2); M(1,2,-2); =3-2-1.
Задача 2
Известно векторное поле =P+Q+R и задана пирамида V, ограниченная с одной стороны плоскостью П с уравнением Ax+By+Cz+D=0, а с трех других сторон координатными плоскостями. Обозначим: S – поверхность пирамиды, - основание пирамиды, принадлежащее плоскости П; - контур, ограничивающий ; – вектор нормальный к S и направленный от пирамиды.
Требуется вычислить:
-
поток векторного поля через полную поверхность S пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности S непосредственно и, используя формулу Остроградского-Гаусса;
-
циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру непосредственно и применив формулу Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью ;
Сделать поясняющие чертежи. Все вычисления проводить подробно с поясняющими надписями.
1. =(2z-x)+(z-y)+(x-y+z); П: x-y+z/2-3=0,
2. =(2z-y)+(x-y)+(x-y-z); П: 2x+y-z-2=0,
3. =(3z-x-y)+(z+y)+(x-z); П: x-y/2+z/2-1=0,
4. =(2y-x)+(z+y)+(x-y+z); П:-x/2+y+z-4=0,
5. =(3y+x)+(z-y)+(x-y+z); П: x/2-y/3+z/2-2=0,
6. =(x+y+z)+(2z+y)+(3y+z); П: -x-y+z-3=0,
7. =(x+y+z)+(2z+y)+(3y+z); П: x/2-y-z-4=0,
8. =(x+2y+z)+(z+2y)+(y+2z); П: x-y/3+z/2-3=0,
9. =(x+y+2z)+(2x+y)+(3y+z); П: x/3-y+z/2-1=0,
10. =(2x+y+z)+(z+3y)+(3x+z); П: x/2-y/3+z-2=0,
11. =(x+y+z)+(2z+y)+(3y+z); П: x-y/2-z/3-3=0,
12. =(x-2y+z)+(2x+y)+(3x+z); П: x-y/3-z/2-2=0,
13. =(x+z)+(2x-y+z)+(3y+z); П: x/2-y/2+z-1=0,
14. =(x-z)+(x-3y+z)+(3x+z); П: -x-y/2+z-2=0,
15. =(x+2z)+(2x+y+z)+(3y+z); П: x/2-y/2+z-3=0,
16. =(x-y)+(x-2y+z)+(y+2z); П: x/3-y-z/2-3=0,
17. =(x+z)+(2x-y+z)+(3y+z); П: x/2-y/2+z-2=0,
18. =(x-2z)+(x-y+2z)+(y+2z); П: -x-y/2+z/2-3=0,
19. =(x+z)+(x+2y+z)+(x+z); П: 2x-y+z/3-2=0,
20. =(x+z)+(2x-y+z)+(3y+z); П: x/2-y-z-2=0,
21. =(x-2z)+(2x+y-2z)+(y-2z); П: x/2+y/3-z/2-1=0,
22. =(x+3z)+(x-3y+z)+(3x+z); П: x-y/2-z-2=0,
23. =(x+z)+(2x-y+z)+(3y+z); П: x/2-y/2+z-3=0,
24. =(x-y+z)+(2x+y)+(y-3z); П: x-y/2+z-2=0,
25. =(x+2y+z)+(2x-y)+(y+2z); П: x/3+y/2+z/2-1=0,
26. =(x-y+2z)+(x+2y)+(x-3z); П: x/2+y/2+z-2=0,
27. =(2x-y+3z)+(2x+2y)+(y+2z); П: x-y/2+z-3=0,
28. =(x-y+z)+(2x+y)+(y-3z); П: x-y/2+z-2=0,
29. =(x-y)+(2x+y)+(x+y-3z); П: x/3-y/2-z-3=0,
30. =(x+2y)+(x-3y)+(x-y+2z); П: x-y/2-z/3-3=0,