Условные математические обозначения

1. СКАЛЯР (от лат. scalaris - ступенчатый) (скалярная величина), величина, каждое значение которой (в отличие от вектора) может быть выражено одним (действительным) числом (тензор нулевого порядка), вследствие чего совокупность значений скаляра можно изобразить на линейной шкале (scale – отсюда название). Длина, площадь, время, температура и т. д. - скалярные величины.

2. Скалярная функция Ф(x,y,z) – ставит в соответствие каждому набору значений скалярных аргументов x,y,z единственное действительное значение Ф (скаляр).

3. Векторная функция (x,y,z) – ставит в соответствие каждому набору значений скалярных аргументов x,y,z вектор =(F_x, F_y, F_z ).

4. Оператор , называемый градиент Набла, или оператор Набла, представляет собой частную производную для некоторого параметра относительно всех направлений в выбранной системе координат. В декартовых координатах определен, как

, где проявляется несколькими способами:

4.1. Градиент скалярной функции Ф – это векторная функция (тензор первого порядка - вектор), составляющие элементы значения которой есть частные производные

.

4.2. Градиент векторной функции – это тензор второго порядка -двумерная матрица, например, в декартовых координатах

4.3. Дивергенция векторной функции – это скалярная функция (тензор нулевого порядка - скаляр), которая является результатом скалярного произведения между и вектором

.

4.4. Ротор векторной функции – это векторная функция (тензор первого порядка – вектор), которая является результатом векторного произведения между и вектором

.

5. Оператор (или , иногда обозначается ∆), называемый оператором Лапласа (лапласиан), и выражается в декартовых прямоугольных координатах формулой:

.

Этот оператор может быть применен к скалярным Ф и векторным функциям с помощью скалярного умножения.

5.1. Оператор Лапласа скалярной функции Ф это скалярная величина

,

отличается от

.

5.2. Оператор Лапласа векторной функции – это вектор

.

6. Полная производная скалярной функции Ф(x,y,z) по времени t – это скорость ее изменения по отношению к параметру t, если координаты есть функции от времени x=x(t), y=y(t), z=z(t), а скорости их изменения во времени:

.

7. Полная (субстанциональная) производная скалярной функции Ф(x,y,z,t) когда Ф явно зависит от t :

.

8. Полная (субстанциональная) производная векторной функции (x,y,z,t) когда явно зависит от t :

.

9. Прочие обозначения:

– удельная массовая теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кг К);

Е – энергия, Дж;

F – площадь, м²;

G – массовый расход, кг/с;

H – энтальпия, Дж;

k – коэффициент теплопередачи, Вт/( м² К);

L – работа, Дж;

N – мощность, Вт;

Р – давление, Па;

Q – количество теплоты, Дж;

q – удельный тепловой поток, Вт/ м²;

R – удельная газовая постоянная, Дж/(кг К);

Re – число Рейнольдса,

St – число Стантона;

Т – температура, К;

t – время, с;

U – внутренняя энергия, Дж;

V – объём, м³;

x, y, z – декартовы координаты;

α – коэффициент теплоотдачи, Вт/( м² К);

η – коэффициент полезного действия (КПД);

λ – теплопроводность, Вт/( м К);

μ – динамическая вязкость, Па с;

ν – кинематическая вязкость, м²/с;

ξ – коэффициент потерь на трение;

π – степень повышения (понижения) давления;

ρ – плотность, кг/м³;