- •1. Действия над матрицами
- •2. Вычисление определителей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Линейные пространства. Ранг матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Переход от одного базиса к другому
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.14. Дана система линейных однородных уравнений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответ: Mo(5; 10; —1).
- •Ответ: xo
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.19. Запишите параметрические уравнения прямой
- •12.38. Пусть линейный оператор a : r3 — r3 является:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16.6. Охарактеризуйте линии пересечения гиперболоида
- •Задачи для самостоятельного решения
-
-
{
-
-
xi + x3 + x5 = 0, x2 — x4 — x5 = 0.
-
Выражаем зависимые неизвестные через свободные:
-
xi = — x3 — x5 ,
-
< ' - общее решение системы.
-
x2 = x4 + x5,
-
Фундаментальная система решений содержит 5—2 = 3 решения (разность между числом неизвестных и рангом). Получаем три частных линейно независимых решения, придавая поочередно свободным неизвестным значения (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1):
-
при x = 1, x4 = 0, x5 = 0 xi = —1 и x2 = 0;
-
при x3 = 0, x4 = 1, x5 = 0 xi = 0 и x2 = 1; при x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1 x1 = —1 и x2 = 1.
-
Решения (—1; 0; 1; 0; 0), (0;1;0;1;0), (—1;1;0;0;1) образуют фундаментальную систему решений. Любое другое решение является их линейной комбинацией.
-
Ответ:
-
{ xi = —XJ — (—1;0;1;0;0), (0;1;0;1;0), (—1; 1; 0; 0; 1).
-
-
Задачи для самостоятельного решения
-
Докажите, что существует единственное значение параметра p, при котором данная система совместна, и найдите его. Охарактеризуйте систему при найденном значении p.
-
x1 + 2x2 + 3x3 = 14, x1 — 4x2 — 3x3 = 8, 2x1 + 3x2 + 5x3 = p.
-
Ответ: p = 27; система неопределённая.
-
Дана система линейных уравнений
-
Г x1 + x2 + 2x3 = 1,
-
\ x1 + 2x2 + 4x3 = 5. Докажите, что в этой системе только одно свободное неизвестное. Найдите общее решение системы, принимая в качестве свободного неизвестного x3.
-
Ответ: x1 = —3,
-
x2 = 4 — 2x3.
-
Дана система линейных уравнений
-
x1 — 2x2 + 3x3 — x4 = 2, 4x1 + px2 + 4x3 — 5x4 = 1. Найдите то значение параметра p, при котором неизвестные x1 и x2 одновременно не могут быть зависимыми. Докажите, что неизвестные x3 и x4 могут быть выбраны в качестве зависимых.
-
Ответ: p = —8
-
Докажите, что существует единственная пара значений параметров p и q, при которых данная система имеет два свободных неизвестных. Найдите эти значения p и q.
-
x1 + 2x2 + 4x3 + 5x4 = 10,
-
x\ — x2 + x3 — x4 = —2,
-
2x\ + 3x2 + 7x3 + 8x4 = p,
-
3xi + 4x2 + 10x3 + 11x4 = q.
-
-
Ответ: p =16, q = 22.
-
Дана система линейных уравнений
-
x1 + x2 + x3 — 2x4 = 1,
-
2x1 + 2x2 — 5x3 + 3x4 = 2,
-
3x1 + 4x2 — 2x3 — 3x4 = 2,
-
2x1 + 3x2 — 3x3 — x4 = 1.
-
Докажите, что система совместна, не определённа. Найдите её общее решение и частное решение при x4 = 1.
-
{x1 = 2 — x4, x2 = —1 + 2x4, (1; 1; 1; 1). x3 = x4,
-
Дана система линейных уравнений
-
4x1 + 2x2 — x3 + 3x4 = 0,
-
7x1 + 4x2 + x3 + 2x4 — x5 = 0,
-
2x1 — 6x2 + 8x4 + 2x5 = —12,
-
2x1 + x2 + x3 + 3x5 = 3.
-
Докажите, что система совместна, не определённа. Найдите её общее решение и частное решение при x1 = 3.
-
{x2 = 5 — 5x1, Z = w+Sm)/3. (3;—10;8;16/3;-m x5 = (5 — 2x1)/3,
-
7.9. Дана система линейных уравнений
-
—2x1 — x3 + x4 = —2,
-
3x1 + x2 — 2хз + x4 = 5,
-
5xi + 3x2 — 8x3 + 5x4 = 11,
-
—4x1 + 2x2 — 9x3 + 7x4 = 0.
-
Докажите, что система совместна, не определённа. Найдите её общее решение и частное решение при x3 = 5, x4 = 7.
-
Ответ: { x = (2 — x3 + 2 (2; 2; 5; 7).
-
\ x2 = (4 + 7x3 — 5x4)12, v ' ' ' ;
-
Докажите, что существует единственное значение параметра p, при котором данная система имеет нетривиальные решения, и найдите его.
-
x1 — 2x2 — 6x3 = 0,
-
2xi + 4x2 + 4x3 = 0, 3x1 — x2 + px3 = 0.
-
-
Ответ: p = —8
-
Докажите, что существует единственная пара чисел p и q таких, что данная система уравнений имеет фундаментальную систему из двух решений. Найдите эти числа p и q.
-
x1 + 3x2 — x3 + 5x4 = 0,
-
3x1 — x2 — x3 + x4 = 0,
-
2x1 + x2 — x3 + 3x4 = 0,
-
14x1 — 3x2 + px3 + qx4 = 0.
-
-
Ответ: p = —5, q = 7.
-
Дана система линейных однородных уравнений