8. Частотные характеристики интегро-дифференцирующих звеньев и их соединений
В соответствии с
передаточной функцией звена
находим его амплитудно-фазовую
характеристику:
. (3.34)
Вещественная и мнимая частотные характеристики
. (3.35)
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристика звена имеют вид:
. (3.36)
. (3.37)
Амплитудно-фазовую
характеристику можно представить также
в виде явной функции (параметрически
заданной)
,
используя равенства (3.54).
Без вывода приводим АФХ интегро-дифференцирующего звена:
, (3.38)
где
.
Следовательно,
АФХ имеет вид окружности, центр которой
расположен на вещественной положительной
полуоси в точке с координатами (
).
Радиус окружности равен
.
Амплитудно-фазовые
характеристики для двух различных
соотношений постоянных времени
и
представлены на рис. 3.28).
Рис. 3.28. АФХ интегро-дифференцирующего звена
АЧХ и ФЧХ звена приведены на рис. 3.29.
Рис. 3.29. Амплитудно-частотные и фазочастотные
характеристики интегро-дифференцирующего звена
На малых частотах
(
)
входных колебаний интегро-дифференцирующее
звено ведет как усилительное с
коэффициентом усиления
.
При этом колебания проходят через звено
без искажений по фазе, т.к
.
На больших частотах
входных колебаний (
)
звено также ведет себя как усилительное,
но с коэффициентом усиления, равным
.
При этом ФЧХ также стремится к нулю.
На средних частотах
выходные колебания или опережают
входные колебания (
),
или отстают от них (
).
При
интегро-дифференцирующее звено по
своим свойствам приближается к
дифференцирующему звену. Если при этом
,
а
,
но так, что произведение
– конечная постоянная величина, получаем
реальное дифференцирующее звено (см.
рис. 3.19).
При
интегро-дифференцирующее звено по
своим свойствам приближается или к
интегрирующему, или к апериодическому.
При
,
а
,
,
на при этом отношение
является
конечной постоянной величиной, то звено
превращается в интегрирующее.
Если при
величины
конечны, получаем апериодическое звено.
При
интегро-дифференцирующее звено
превращается в усилительное с
коэффициентом усиления
.
При этом на всех частотах сигнал проходит
через звено без фазовых искажений.
Физически это можно объяснить тем, что
дифференцирующая составляющая дает
опережение выходной величины по
отношению к входной. Интегрирующая
же составляющая, наоборот создает
отставание выходной величины от
входной. При равенстве этих составляющих
они взаимно уравновешивают друг друга,
и результирующее воздействие их на
фазу выходного сигнала равно нулю.
Рис. 3.30. Логарифмические частотные характеристики
интегро-дифференцирующего
звена при разных отношениях
Логарифмируя
выражение (3.36)
,
получим логарифмическую АЧХ звена:
. (3.39)
Из этого выражения
следует, что вид аппроксимированной
ЛАЧХ звена зависит от соотношения
постоянных времени
и
.
При
в интервале между сопрягающими частотами
и
асимптота определяется отрезком прямой
с наклоном -20 дБ/дек (рис. 3.30, а).
При
сопрягающие частоты
и
,
а асимптота в этом диапазоне частот
определяется отрезком прямой с наклоном
+20 дБ/дек (рис. 3.30, б).
В интервале низких частот
ЛАЧХ аппроксимируется прямой
,
а в интервале высоких частот
– прямой
.
На рис. 3.30, в
приведены аппроксимированные ЛАЧХ как
при
,
так и при
.
При последовательном соединении двух интегро-дифференцирующих звеньев получаем также интегро-дифференцирующее звено . Амплитудно-фазовая характеристика звена
. (3.40)
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
(3.41)
Фазо-частотная характеристика звена
Частотные
характеристики комбинированного
интегро-дифференцирующего звена
второго порядка, представленного
-
цепью, изображенной на рис. 2.13, а,
приведены на рис. 3.31.
Рис. 3.31. АФХ и ЛЧХ комбинированного
интегро-дифференцирующего звена
Такое комбинированное звено (3.40) имеет принципиальное отличие от звена (3.34), которое заключается в следующем: на низких частотах это соединение ведет себя как интегрирующее, а в области высоких частот – как дифференцирующее устройство.
В связи с этим такое комбинированное устройство с АФХ вида (3.40) на практике широко применяются для построения и улучшения динамических свойств АСР.