11. Скалярное произведение векторов и его свойства. Условия колиниарности и ортогональности двух векторов

Скалярным произведением двух не нулевых векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение равно 0 если хотя бы один из векторов равен 0.

(, если

(=0, если или

Скалярным квадратом называется скалярное произведение .

Геометрические свойства скалярного произведения:

• Косинус угла между двумя не нулевыми векторами определяется по формуле:

• Скалярное произведение обращается в ноль тогда и только тогда когда вектора перпендикулярны. (

• Скалярное произведение положительно тогда и только тогда когда угол между векторами острый, и отрицательно когда угол тупой.

• Скалярный квадрат равен квадрату модуля этого вектора.

• Длинна вектора равен корню квадратному из его скалярного квадрата.

Алгебраические свойства скалярного произведения

• (

• (

• (

• 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: 2 вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их смешенное произведение равно 0.

или

Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов: « вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

15. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

Задача 1

т. М(х;у)

Найти точки симметричные т. М относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат.

Решение:

Обозначим искомые точки через т. , т. , т. .

Пусть т. N проекция т. М на ось Ох, т. -проекция т. на ось Ох, т. L – проекция т.М на ось Оу, т.- проекция т.на Оу, т.- проекция т. на Оу.

Рассмотрим вектора и

Аналогично и

Задача 2

Найти расстояние между двумя данными точками т..

- проекция на ось Ох

- проекция на ось Оу

т.К – пересечение

Рассморим

К =

К=

От суда выходит что:

расстояние между двумя точками

Задача 3

(о делении отрезка в данном отношении)

т.

Дано число - отношение в котором делит отрезок и определяется по формуле

Пусть не перпендикулярно оси Ох так как вектора параллельны, то выполняется равенство

Рассмотрим вектор ; координаты точки

Частный случай (делит пополам)

15. Полярные координаты. Преобразования прямоугольных координат. Уравнение линии на плоскости

Возьмем некоторую т.О на плоскости и возьмем прямую ОР.

т.О называется полюсом, а луч с т.О с положительным направлением называется полярной осью. Задание полюса О полярной оси ОР и единичного отрезка ОЕ определяет на плоскости полярную систему координат.

Полярным радиусом т.М называется его расстояние до полюса. Полярным углом произвольной т.М называется угол наклона вектора полярный оси ОР. и называются полярными координатами т.М.

т.М(

Замечание: Задание любой пары чисел и , позволяет построить на плоскости единственную т.М для которой данные числа являются ее полярными координатами.

Преобразование декартовых прямоугольных координат

• Параллельно т.М(

а и в задано

у=

• Поворот оси

х=

у=+

• Изменение начала и поворот осей

х=

у=+

Уравнение линии на плоскости

Рассмотрим соотношение F(x,y)=0 связывающее две переменные х и у. Это уравнение называется уравнением линии L если координаты любой точки линии удовлетворяют это уравнение, а координаты точек не принадлежащие L это уравнение не удовлетворяют.

Таким образом уравнение линии L есть соотношение связывающее координаты точек этой линии.

Например рассмотрим окружность радиусом R с центром в точке (a, b). Эта окружность определяется как геометрическое место точек находящихся на расстоянии R от точки .

уравнение окружности.