- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения. Основные понятия и определения – общее и частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . Алгоритм решения.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Решение однородных уравнений.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . Метод Бернулли решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
- •5. Дифференциальные уравнения второго порядка, основные понятия. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка вида .
- •Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка вида .
- •Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка вида .
- •Правая часть
- •Правая часть
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3 Если для ряда существует конечный предел , то такие ряды называют сходящимися, а s – сумма ряда.
- •Ряд, образованный из членов бесконечной геометрической прогрессии, условия его сходимости и расходимости.
- •Необходимый признак сходимости числовых рядов. Свойства сходящихся рядов.
- •Признаки сравнения знакоположительных числовых рядов. Первый и второй признак сравнения.
- •Интегральный признак Коши.
- •Признак Даламбера.
- •Знакочередующиеся числовые ряды (определение, примеры). Признак Лейбница.
- •Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся числовых рядов.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Понятие области сходимости степенных рядов.
- •Алгоритм исследования степенных рядов на сходимость.
- •Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции .
- •Теория вероятностей
- •22. Классификация событий. Пространство элементарных событий, случайное событие. Сумма и произведение событий. Противоположное событие. Несовместные события.
- •2 События: а и в называют несовместными, если
- •23. Классическое и статистическое определение вероятности случайного события. Непосредственный подсчет вероятности событий для простейших опытов.
- •Если - конечномерное пространство элем.Событий, каждое из которых равновозможное, то вероятностью события а называется отношение числа исходов, благопрепятствующих событию а к общему числу исходов.
- •25. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.
- •27. Формула полной вероятности (формула Байеса).
-
Правая часть
а) Тогда, если α – не является корнем характеристического уравнения α ≠ k1 и α ≠ k2, то
yчастн. = Qn(x)*e αx = (b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn)*e αx .
б) Если α – один из корней характеристического уравнения α = k1 и α ≠ k2, то
yчастн. = Qn(x)*x*e αx = (b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn)*x*e αx .
в) Если α = k1 = k2, то
yчастн. = Qn(x)*x2*e αx = (b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn)*x2*e αx .
Многочлен Qn (x) (его коэффициенты b0, b1, b2 . . . bn) находят методом неопределённых коэффициентов.
-
Правая часть
а) Если k1≠ 0 и k2 ≠ 0, то
yчастн. = Qn(x) = (b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn) .
б) Если k1= 0 и k1 ≠ k2, то
yчастн. = x*Qn(x) = x*(b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn) .
в) Если k1= k2 = 0, то
yчастн. = x2*Qn(x) =x2* (b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn) .
Многочлен Qn (x) (его коэффициенты b0, b1, b2 . . . bn) находят методом неопределённых коэффициентов.
-
П
f(x) = e αx * (A*cosβx + B*sinβx)
равая часть
а) Если α ± βi не являются корнями характеристического уравнения, то
yчастн.= e αx * (M*cosβx + N*sinβx).
б) Если α ± βi являются корнями характеристического уравнения, то
yчастн.= x*e αx * (M*cosβx + N*sinβx).
M, N находят методом неопределённых коэффициентов.
-
П
f(x) = A*cosβx + B*sinβx
равая часть
а) Если βi не является корнем характеристического уравнения, то
yчастн.= M*cosβx + N*sinβx.
б) Если βi является корнем характеристического уравнения, то
yчастн.= x*(M*cosβx + N*sinβx).
M, N находят методом неопределённых коэффициентов.
= .
РЯДЫ
-
Числовые ряды. Определения числового ряда, частичной суммы ряда. Понятие сходящихся и расходящихся рядов.
Определение 1
Числовым рядом называется бесконечная числовая последовательность, соединенная знаком сложения.
Числа - числа числового ряда.
Ряд считается заданным, если задана формула (правило), по которой для любого номера n можно вычислить соответствующий член ряда.
- формула общего члена ряда.
Числовые и функциональные ряды находят широкое применение в различных вычислениях, когда сложную функцию представляют в виде суммы простых функций, т.к. в виде ряда.
Такой подход широко применяют в вычислительной технике.
Определение 2
Пусть задан числовой ряд , тогда выражение вида - частичные суммы ряда.
Sn – частичная сумма ряда.
Определение 3 Если для ряда существует конечный предел , то такие ряды называют сходящимися, а s – сумма ряда.
Если конечного предела таких сумм не существует, то ряд называют расходящимся.
-
Ряд, образованный из членов бесконечной геометрической прогрессии, условия его сходимости и расходимости.
Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия , b – первый член, q – знаменатель.
Ряд
Исследуем этот ряд на сходимость. Как известно, сумма первых n-членов геометр. прогрессии . Найдем Sn, когда .
, (*)
При исследовании рядов наиболее важным является вопрос о сходимости (установление факта сходимости и расходимости). Для этого используют признак сходимсоти.