- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения. Основные понятия и определения – общее и частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . Алгоритм решения.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Решение однородных уравнений.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . Метод Бернулли решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
- •5. Дифференциальные уравнения второго порядка, основные понятия. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка вида .
- •Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка вида .
- •Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка вида .
- •Правая часть
- •Правая часть
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3 Если для ряда существует конечный предел , то такие ряды называют сходящимися, а s – сумма ряда.
- •Ряд, образованный из членов бесконечной геометрической прогрессии, условия его сходимости и расходимости.
- •Необходимый признак сходимости числовых рядов. Свойства сходящихся рядов.
- •Признаки сравнения знакоположительных числовых рядов. Первый и второй признак сравнения.
- •Интегральный признак Коши.
- •Признак Даламбера.
- •Знакочередующиеся числовые ряды (определение, примеры). Признак Лейбница.
- •Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся числовых рядов.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Понятие области сходимости степенных рядов.
- •Алгоритм исследования степенных рядов на сходимость.
- •Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции .
- •Теория вероятностей
- •22. Классификация событий. Пространство элементарных событий, случайное событие. Сумма и произведение событий. Противоположное событие. Несовместные события.
- •2 События: а и в называют несовместными, если
- •23. Классическое и статистическое определение вероятности случайного события. Непосредственный подсчет вероятности событий для простейших опытов.
- •Если - конечномерное пространство элем.Событий, каждое из которых равновозможное, то вероятностью события а называется отношение числа исходов, благопрепятствующих событию а к общему числу исходов.
- •25. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.
- •27. Формула полной вероятности (формула Байеса).
ПРИМЕЧАНИЯ: Этим цветом выделен материал, который может и не понадобиться при ответе на данный экзаменационный билет. А может и понадобится =)
Дифференциальные уравнения
-
Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения. Основные понятия и определения – общее и частное решение, начальные условия, задача Коши.
Д.у. называется уравнение, содержащее производные, функцию и независимую переменную. Порядком д.у. называется порядок наивысшей степени. Решением д.у. называется всякая функция, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.
Д.у. 1го порядка называется уравнение . Если это уравнение можно представить в виде (1), то уравнение называется уравнением, разрешенным относительно производной. Теорема Коши: теорема существования и единственности:
Если в уравнении (1), функция f(x,y) и её частная производная непрерывны в некоторой области, содержащей т.(), то существует и при этом единственное решение уравнения (1), проходящее через данную точку.
Примечание! 1. Задача, в которой помимо нахождения решения д.у. требуется найти решение, проходящее через точку () называются задачей КОШИ. 2. Задача Коши формулируется след-м образом:
Дано: - дифференциал *
-
начальное условие **
Требуется: найти решение, удовлетворяющее как *, так и **.
Решение, в котором С – произвольная постоянная, называется ОБЩИМ решением.
Решения, в которых С(const) конкретизирована, называют ЧАСТНЫМИ решениями.
-
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . Алгоритм решения.
(Д.у. называется ур-м с р/п если (1). Решение основано на следующем: выражения, стоящие слева и справа можно рассм-ть как дифференциалы от некоторой функции - , , . Если диф-ы ф-и равны, то сами ф-и отличаются на С. Чтобы найти сами ф-и по диф-у их необходимо проинтегрировать. , . Поэтому уравнение (1) решают интегрированием обеих частей. Если в полученном решении у явно не выражен через х или это трудно сделать, то решение в таком виде называют общим интегралом.)
Д.у. вида (2) называют ур-м с разделяющимися переменными. Решение таких уравнений: 1) записываем как ,, - ур-е с р/п; 2) интегрируем обе части этого равенства - общее решение.
-
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Решение однородных уравнений.
Если д.у. можно представить в виде (1), то его называют однородным. Термин «однородность» связан с понятием так называемых однородных функций f(x,y), таких что . Для решения таких уравнений используют замену переменной (подстановку). Чтобы решить, обозначают , тогда . Получ. выражение подставляем в исходное (1). Интегрируем обе части. Найдем u = F(x,С) или - общее решение.
-
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . Метод Бернулли решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Линейным д.у.1порядка называют ур-я вида (1), где P(x), Q(x) – известные и непрерывные функции.
-
Если P(x)=0- ур-е с разделяющимися переменными.
-
, Интегрируем обе части: ;
-
- ПОЛНОЕ уравнение.
Для решения полных уравнений используют два метода
-
метод вариации произвольной постоянной
-
метод Бернулли.
Суть метода БЕРНУЛЛИ закл.в том, что искомое решение ищут в виде произведения двух заранее неизвестных функций, полагая что , где u и v – пока нам неизвестные функции. Тогда . Подставляем в исх-е уравнение y и , получаем *
Так как нас интересует результат , а не отдельные сомножители, то на один их них можно наложить какое-либо условие. Пусть будет таким, что . Тогда,
(const при нахождении полагают равной 0).
Подставляем найденное V в уравнение *, тогда . .
Окончательное решение: