- •Далее, подставив (6.6) в уравнение неразрывности (6.1). Получим
- •Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости
- •Установившаяся фильтрация упругой жидкости
- •Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток идеального газа
- •Плоско-радиальный фильтрационный поток идеального газа по закону Дарси
- •Плоско-радиальный поток идеального газа по двучленному закону фильтрации
- •7. Плоско-радиальный фильтрационный поток реального газа по закону Дарси
VI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ
СЖИМАЕМОЙ (УПРУГОЙ) ЖИДКОСТИ И ГАЗА
-
Дифференциальные уравнения установившейся фильтрации
упругой жидкости и газа по закону Дарси
Составим дифференциальное уравнение фильтрации однородного сжимаемого флюида в однородной пористой среде на основе уравнения неразрывности потока (2.11)
(6.1)
и уравнений движения (2.4)
, , , (6.2)
т.е. считаем фильтрацию сжимаемого флюида =(Р) по закону Дарси, процесс изотермический (Т=const), при этом вязкость флюида и проницаемость зависят от давления , т.е. =(Р) и k=k(Р).
Введем обобщенную функцию давления следующим образом. Примем, что ее дифференциал
, (6.3)
тогда
(6.4.)
будем называть обобщенной функцией Лейбензона.
Так как функция и давление Р зависят от координат и времени, то равенство (6.3) можно записать в следующем развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:
.
Из сравнения коэффициентов при dx, dy, dz, dt получаем
; ; ;
. (6.5)
Запишем выражения для массовых скоростей фильтрации с использованием (6.5)
; ;
. (6.6)
Далее, подставив (6.6) в уравнение неразрывности (6.1). Получим
(6.7)
или (6.8)
-
это и есть дифференциальное уравнение неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.
В случае установившейся фильтрации и уравнение (6.7) принимает вид
, (6.9)
или , (6.10)
т.е. при установившейся фильтрации обобщенная функция Лейбензона удовлетворяет уравнению Лапласа.
-
Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости
Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости.
В дальнейшем принимаем, что проницаемость среды и динамический коэффициент вязкости флюида постоянны, т.е. k=const и =const, а плотность флюида =(Р). Тогда можно ввести функцию Лейбензона как
, (6.11)
при этом . (6.12)
Запишем закон Дарси для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в дифференциальной форме (1.15) через расход
, (6.13)
где Q=const; (S) - площадь поперечного сечения струйки.
При установившейся фильтрации сжимаемого флюида по всей длине струйки массовый расход сохраняется постоянным:
Qm= Q = const.
Умножив обе части равенства (6.13) на плотность флюида (Р) и используя соотношение (6.12), имеем
, Qm =const. (6.14)
Легко видеть, что выражения (6.13) и (6.14) являются однотипными дифференциальными уравнениями, в которых объемному расходу Q несжимаемой жидкости соответствует массовый расход Qm сжимаемого флюида, а давлению в уравнении (6.13) соответствует функция Лейбензона в уравнении (6.14).
Уравнения движения (6.2) для несжимаемой жидкости связывают скорость фильтрации V с давлением Р, а для сжимаемого флюида – массовую скорость фильтрации c функцией Лейбензона в уравнениях (6.6).
Отсюда вывод (аналогия): все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив соответствующие параметры:
Несжимаемая жидкость |
Сжимаемый флюид |
Объемный расход – Q Давление - Р Объемная скорость фильтрации - V |
Массовый расход - Qm Функция Лейбензона - Массовая скорость фильтрации -
|
При этом помним, что при фильтрации сжимаемого флюида под давлением Р понимается абсолютное давление.
-
Установившаяся фильтрация упругой жидкости
Прежде всего найдем выражение функции Лейбензона для упругой (слабосжимаемой) жидкости, описываемой уравнением состояния (2.14):
. (6.15)
Если , то можно взять уравнения состояния упругой жидкости в виде (2.15). Тогда из (6.15) получаем следующее выражение для функции Лейбензона
. (6.16)
Подставив (6.16) в дифференциальное уравнение (6.9), получим
. (6.17)
Как следует из выражения (6.17), при установившейся фильтрации упругой жидкости плотность можно считать постоянной, поэтому при решении практических задач с установившейся фильтрацией упругой жидкости можно пользоваться формулами для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости. Однако в случае фильтрации упругой жидкости в пласте с очень высоким пластовым давлением и при большой депрессии, следует использовать функцию Лейбензона (6.15), поскольку возможны большие погрешности.