- •Интерференция скважин. Принцип (метод) суперпозиции
- •Но для плоско-радиального потока
- •Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания
- •Приток жидкости к скважине, расположенной вблизи непроницаемой границы
- •Приток жидкости к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин
- •6. Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений
IV. УСТАНОВИВШИЙСЯ ПРИТОК ЖИДКОСТИ К ГРУППЕ СОВЕРШЕННЫХ СКВАЖИН
-
Интерференция скважин. Принцип (метод) суперпозиции
Обычно месторождение эксплуатируется десятками и сотнями скважин. Все скважины в процессе работы взаимодействуют (интерферируют) между собой, т.е. под влиянием остановки, пуска или изменения режима работы одной группы скважин изменяются дебиты и забойные давления другой группы скважин, эксплуатирующих тот же пласт. Интерференция скважин является одной из сложных задач подземной гидрогазодинамики, представляющих несомненный интерес для теории и практики разработки нефтяных и газовых месторождений. Прежде чем перейти к исследованию задач интерференции скважин, введем некоторые необходимые понятия.
Назовем точечным стоком на плоскости точку, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно-малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальное движение. Точечный источник – это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины).
Найдем потенциал Ф точечного стока на плоскости. Поскольку точечный сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоско-радиальное, то можно воспользоваться формулой скорости фильтрации для потока этого типа (3.26)
, (4.1)
где - дебит скважины-стока, приходящийся на единицу толщины пласта.
Но для плоско-радиального потока
,
откуда .
После интегрирования получим выражение потенциала Ф для точечного стока на плоскости
, (4.2)
где С – постоянная интегрирования, которая легко находится по граничным условиям . При поэтому в этих точках потенциал Ф теряет смысл.
Для точечного источника формула (4.2) остается в силе, но q считается отрицательным (q<0).
Из формулы (4.2) следует, что линиями равного потенциала (эквипотенциалями) являются окружности r=const.
Найдем теперь выражение потенциала точечного стока в пространстве. Движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации
откуда После интегрирования получаем
. (4.3)
Формула (4.3) – потенциал точечного стока в пространстве.
Как видно из (4.3), при а при
Модель точечного стока в пространстве будет использоваться при решении задач притока жидкости к гидродинамически несовершенным скважинам.
На основе свойств уравнения Лапласа, которым описывается распределение давления P(r) и потенциала Ф(r) в установившихся потоках жидкости в пласте, в подземной гидрозазодинамике разработан метод решения сложных гидродинамических задач, названный методом суперпозиции (методом наложения).
Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф1(x,y,z), Ф2(x,y,z), …, Фn (x,y,z), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е.
, j=1,2,3…n,
то сумма
, где Cj-произвольная постоянная
также удовлетворяет уравнению Лапласа.
Гидродинамический смысл метода суперпозиции – изменения давления или потенциала в любой точке пласта, вызванные работой каждой скважины (добывающей или нагнетающей),алгебраически суммируются в каждой точке пласта. При этом суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины в отдельности.
Пусть на неограниченной плоскости расположено n источников и стоков (рис.19). Потенциал каждого из них в некоторой точке М определяется по формуле (4.2):
г де r1, r2, r3, ..rn – расстояния от соответствующих стоков до точки М; С1, С2, С3,…, Сn – постоянные.
Рис. 19
Каждая функция Ф1, Ф2, … Фn удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому сумма потенциалов
где С=С1+С2+…+Сn (4.4)
также удовлетворяет уравнению Лапласса.
Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга.
Вектор скорости фильтрации в точке М будет определяться векторной суммой:
(4.5)
где
Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу той или иной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах приходится вводить фиктивные скважины – стоки или скважины-источники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с реальными скважинами обеспечивают необходимые условия на границах. При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом отображения источников и стоков.
Ниже рассматриваются решения некоторых задач с применением метода суперпозиции совместно с методом отображения источников и стоков, имеющих практическое применение в теории разработки нефтяных и газовых месторождений.
-
Приток жидкости к группе скважин в пласте
с удаленным контуром питания
Пусть в горизонтальном пласте толщиной h расположена группа скважин А1, А2, … ,Аn радиусами rcj, работающих с различными забойными потенциалами Фcj (j=1,2,3,…,n) (рис.20). Расстояния между центрами скважин известны (rji=rij).
Так как контур питания находится далеко от всех скважин, то можно приближенно считать, что расстояние от всех скважин до всех точек контура питания одно и тоже и равно Rк . Потенциал на контуре питания Фк задан. Требуется определить дебит каждой скважины и скорость фильтрации в любой точке пласта.
Рис. 20
Потенциал в любой точке пласта М определяется по формуле (4.4). Поместив мысленно точку М последовательно на забой каждой скважины, получим выражения для забойного потенциала на них
(4.5)
В выражениях (4.5) принято, что расстояние от точки на стенке данной скважины i до центра любой другой скважины j равно расстоянию между центрами этих скважин, так как rci<<rij (i не равно j). Система (4.5) состоит из n уравнений и содержит n+1 неизвестных (n дебитов q и одну const=C). Дополнительное уравнение получим, поместив точку М на контур питания:
. (4.6)
Вычитая почленно каждые из уравнений (4.5) из (4.6), исключим постояннуюС и получим систему из n уравнений, решив которую можно определить дебиты скважин q1, q2, q3, … qn, если заданы забойные Фс1, Фс2, Фс3, …, Фсn и контурный Фк потенциалы. Имеем:
(4.7)
Точно также решается из системы уравнений (4.7) и обратная задача – это определение потенциалов по известным дебитам qj (j=1,2,3,…,n).
Скорость фильтрации V в любой точке пласта определяется как геометрическая сумма скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины
. (4.8)
направлена по радиусу от точки М к данной скважине-стоку.