Распределение скоростей молекул по Максвеллу.

Закон распределения молекул по скоростям был впервые получен Максвеллом (строгое обоснование дал Больцман.)

Молекулы движутся с различными скоростями, но при каждой температуре Т существует такая наиболее вероятная скорость υ_В , что большинство газовых молекул движутся со скоростями, не очень сильно отличающимися от этой скорости. Молекулы с резко отличными скоростями встречаются редко.

Молекул, обладающих точно заданной скоростью в каждый данный момент, может не оказаться ( из – за беспорядочности движения).

Но можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в некотором определенном интервале скоростей. Например, имеют значения, лежащие между некоторыми данными скоростями υ и υ_ß. Закон распределения скоростей был впервые выведен Максвеллом. Он подсчитал число молекул dN, скорости которых лежат в интервале скоростей от некоторой заданной скорости υ до υ+dυ

Ю, m₀ – масса молекулы. N – общее число молекул рассматриваемого газа.

Перепишем (1) так:

функция распределения.

Тогда (2)примет вид:

Из (3) можно найти наиболее вероятную скорость. Для этого исследуем (3) на экстремум :

μ – молярная масса.

Закон распределения Максвелла можно записать, вводя относительную скорость U=

υ – данная скорость.

Тогда число молекул dN, относительные скорости которых лежат в интервале U, U+dU, определится соотношением:

Приведем графики распределения молекул по скоростям (рис. 1).

Кривая распределения молекул асимметричная: правая часть более покатая , а левая – более крутая. Площадь между правой частью кривой распределения и осью абсцисс больше, чем между левой частью и осью абсцисс. А это означает, что в газе больше быстрых молекул, чем медленных (в сравнении с υ_ß.)

(рис. 1)

По мере роста температуры графики распределения Максвелла становятся всё более пологими, а значение максимума уменьшается. Площадь же , ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, остаётся неизменной.

Формула Максвелла (1) не учитывает направления скоростей. Можно поставить вопрос шире: каково число молекул, скорости которых лежат в данном интервале скоростей и имеют некоторые определённые направления?

Число молекул, составляющие скоростей которых υ_x лежат в интервале υ_x , υ_x+ dυ_x, составляющие υ_y^- в интервале υ_y, υ_y +dυ_y; составляющие υ_z^- в интервале υ_z , υ_z⁺ dυ_z,

равно:

Или так :

Поставленному условию удовлетворяют все молекулы, вектора скоростей которых попадают своими концами в объём dω=dυ_x dυ_ydυ_z.

Скорости молекул.

Средняя арифметическая:

Наиболее вероятная:

Средняя квадратичная:

Примечание: среднюю арифметическую скорость можно определить из распределения Максвелла, пользуясь соотношением для определения среднего значения любой физической величины:

где f(x)- функция распределения вероятностей.

Наиболее вероятная скорость определяется из условия максимума функции .

Опыт Штерна. Экспериментальная проверка распределения молекул по скоростям.

Необходимость измерения скоростей молекул газа обусловлена противоречием между МКТ и практикой. Из теории следовало, что скорости молекул газа должны быть порядка несколько сотен метров в секунду, а диффузия протекала гораздо медленнее. Нуждался в экспериментальной проверке и закон распределения Максвелла, полученный статистическими методами. Первым обе задачи решил немецкий учёный Штерн в 1920 году. Прибор Штерна состоял из двух скреплённых коаксиальных цилиндров радиусами r и R (R>>r)(рис. 1). По оси цилиндров была натянута проволока (платина, покрытая серебром). Во внутреннем цилиндре имелась щель вдоль образующей цилиндра. В цилиндре создавался вакуум. При нагревании проволки током серебро испарялось, атомы его образовывали пучок ( он выделялся щелью а ).

(рис.1)

Атомы серебра при неподвижных цилиндрах давали на внутренней стенке цилиндра (внешнего) изображение щели. Когда цилиндры приводились во вращение, изображение щели смещалось на величину ( R>>r), (2)

Но оно не только смещалось , но и получалось размытым, что говорило о разбросе скоростей молекул при данной температуре.

Если бы все молекулы двигались с одинаковой скоростью( температура нити для всех молекул одинакова), то изображение щели при вращающихся цилиндрах было бы резким. Оно смещалось бы, но не меняло своей формы, а получилось размытым.

Из (1), (2) для скорости молекул имеем:

.

По формуле (3) определялась скорость (средняя квадратичная) молекул газа. Распределение Максвелла проверялось по распределению плотности осадка серебра на внутренней поверхности внешнего цилиндра: она пропорциональна числу атомов серебра определенной скорости. Доля атомов, попавших в ту или иную часть полоски, определялась по блеску осадка серебра.

Опыты Штерна подтвердили справедливость МКТ и распределения Максвелла.