Задание 4.5

Кривая в полярной системе координат задана уравнением : а) изобразите кривую по точкам, придавая  значения из промежутка с шагом /8; б) составьте уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат, согласованной с полярной, и определите тип этой кривой.

1) ; 11) ; 21) ;

2) ; 12) ; 22) ;

3) ; 13) ; 23) ;

4) ; 14) ; 24) ;

5) ; 15) ; 25) ;

6) ; 16) ; 26) ;

7) ; 17) ; 27) ;

8) ; 18) ; 28) ;

9) ; 19) ; 29) ;

10) ; 20) ; 30) .

V. Дифференциальное исчисление функции одного переменного

1. Производная. Правила дифференцирования

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим значению переменной в точке приращение , при этом получит приращение . Если существует конечный предел

,

то он называется производной функции f(x) в точке x₀ и обозначается . Общеприняты и другие обозначения производной функции

: , ; если же зависит от значения переменной (времени), то часто вместо пишут . Если вышеуказанный предел существует в каждой точке интервала , то становится функцией, определённой на (a, b).

Пример 1. Используя определение производной, найти производную функции .

Решение. Придадим значению переменной x приращение x, тогда функция получит приращение

y = f(x + x) – f(x) = sin (2(x + x) + 1) – sin (2x + 1) =

= 2 sin x cos (2x + x + 1).

Отсюда находим

.

Таким образом, .

Процесс нахождения производной часто называют дифференцированием.

2. Таблица производных

(Здесь и ниже C – постоянная величина.)

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

3. Правила дифференцирования

Если функции f(x) и g(x) имеют производные и , то функции , , , также имеют производные (последняя – при условии ), и при этом

; ;

; .

Теорема 1 (о производной сложной функции). Пусть функции , определённая в окрестности точки x₀, и z = g (y), определённая в окрестности точки , обладают тем свойством, что существуют производные и . Тогда функция

имеет производную в точке x₀ и при этом

.

Пример 2. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а), б) Применяя правила дифференцирования, находим

=;

в), г) Применяя теорему о дифференцировании сложной функции, находим

=;

.

Пример 3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

. (1)

Решение. Найдём производную нашей функции

.

Подставив это выражение в (1), получим

,

или .

Это и доказывает, что наша функция удовлетворяет уравнению (1).

Для дифференцирования степенно-показательной (вида ) и некоторых других функций удобно пользоваться так называемым логарифмическим дифференцированием.

Пример 4. Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) Предварительно прологарифмируем обе части равенства , имеем

.

Продифференцируем обе части последнего равенства, считая сложной функцией от :

;

отсюда находим

.

Подставив , наконец, получим

.

б) действуя так же, находим

;

;

4. Производные высших порядков

Производную от производной называют второй производной от функции f(x) и обозначают . Производную от называют третьей производной функции f(x) и обозначают . Таким образом,

, , . . . , , . . .

Общепринятыми являются и другие обозначения производной n-го порядка функции y = f(x): или . Если функция f(x) зависит от переменного (времени), то вторую и третью производные иногда обозначают .

Пример 5. Найти , если y = ln(sinx) .

Решение.

;

.