- •Оглавление
- •1. Уравнение линии на плоскости
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости
- •1.1.1. Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •1.1.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •1.1.4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •1.1.5. Уравнение прямой в отрезках
- •1.1.6. Нормальное уравнение прямой.
- •1.1.7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •1.2. Угол между прямыми на плоскости
- •1.3. Расстояние от точки до прямой
- •2. Кривые второго порядка
- •2.1. Окружность
- •2.2. Эллипс
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки:
- •2.3. Гипербола
- •2.4. Парабола
- •3. Системы координат
- •3.1. Полярная система координат
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Общее уравнение плоскости
- •4.6. Уравнение плоскости в отрезках
- •4.7. Уравнение плоскости в векторной форме
- •4.8. Расстояние от точки до плоскости
- •5. Уравнение линии в пространстве
- •5.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору
- •5.2. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
- •5.3. Общие уравнения прямой в пространстве
- •5.4. Угол между плоскостями
- •5.5. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •5.6. Угол между прямыми в пространстве
- •5.7. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
- •5.8. Угол между прямой и плоскостью
- •5.9. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
- •6. Поверхности второго порядка
- •6.1. Цилиндрические поверхности
- •6.2. Поверхности вращения
- •7. Цилиндрическая и сферическая системы координат
- •7.1. Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат
- •7.2. Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной
- •7.3. Линейное (векторное) пространство
- •Свойства линейных пространств
- •Линейные преобразования
- •Матрицы линейных преобразований
- •Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
- •8. Квадратичные формы
- •8.1. Приведение квадратичных форм к каноническому виду
1.1. Уравнение прямой на плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
-
C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат
-
А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
-
В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
-
В = С = 0, А 0 – прямая совпадает с осью Оу
-
А = С = 0, В 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
1.1.1. Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
1.1.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х1 х2 и х = х1, еслих1 = х2.
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
1.1.4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (1, 2), компоненты которого удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1A + (-1)B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
1.1.5. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С 0, то, разделив на –С, получим: или
, где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.