- •Оглавление
- •1. Уравнение линии на плоскости
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости
- •1.1.1. Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •1.1.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •1.1.4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •1.1.5. Уравнение прямой в отрезках
- •1.1.6. Нормальное уравнение прямой.
- •1.1.7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •1.2. Угол между прямыми на плоскости
- •1.3. Расстояние от точки до прямой
- •2. Кривые второго порядка
- •2.1. Окружность
- •2.2. Эллипс
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки:
- •2.3. Гипербола
- •2.4. Парабола
- •3. Системы координат
- •3.1. Полярная система координат
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Общее уравнение плоскости
- •4.6. Уравнение плоскости в отрезках
- •4.7. Уравнение плоскости в векторной форме
- •4.8. Расстояние от точки до плоскости
- •5. Уравнение линии в пространстве
- •5.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору
- •5.2. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
- •5.3. Общие уравнения прямой в пространстве
- •5.4. Угол между плоскостями
- •5.5. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •5.6. Угол между прямыми в пространстве
- •5.7. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
- •5.8. Угол между прямой и плоскостью
- •5.9. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
- •6. Поверхности второго порядка
- •6.1. Цилиндрические поверхности
- •6.2. Поверхности вращения
- •7. Цилиндрическая и сферическая системы координат
- •7.1. Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат
- •7.2. Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной
- •7.3. Линейное (векторное) пространство
- •Свойства линейных пространств
- •Линейные преобразования
- •Матрицы линейных преобразований
- •Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
- •8. Квадратичные формы
- •8.1. Приведение квадратичных форм к каноническому виду
6.2. Поверхности вращения
Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.
Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:
F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.
Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,
F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.
Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:
-
- эллипсоид вращения
-
- однополостный гиперболоид вращения
-
- двуполостный гиперболоид вращения
-
- параболоид вращения
Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.
Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:
Сфера:
Трехосный эллипсоид:
В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.
Однополостный гиперболоид:
Двуполостный гиперболоид:
Эллиптический параболоид:
Гиперболический параболоид:
Конус второго порядка:
7. Цилиндрическая и сферическая системы координат
Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.
Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .
Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.
Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.
Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано далее.
z
М
h
0 x
r
M1
y
ОМ1 = r; MM1 = h;
Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, ).
Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, , h), которые определяют положение точки М в пространстве.
Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где - угол между и нормалью.